PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI NUMERICA II
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - A.A. 1998/99
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

Corso monografico sulla Teoria dell'Approssimazione

1.

Richiami di Analisi Funzionale. Spazi metrici. Compatti. Spazi normati. Insiemi convessi. Spazi di Hilbert. Problema della migliore approssimazione (m.a.). Esistenza della m.a. in un sottospazio di dimensione finita. Norme strettamente convesse. Unicità della migliore approssimazione.

2.

Migliore approssimazione polinomiale nella norma uniforme. Teorema di Weierstrass. Polinomi di Bernstein. Modulo di continuità. Ordine di convergenza dei polinomi di Bernstein. Enunciato del teorema di Jackson. Caratterizzazione della migliore approssimazione. Insiemi alternanti. Unicità della m.a. uniforme. Costruzione della m.a. uniforme di grado n alla funzione f(x)=xⁿ⁺¹. Polinomi di Chebychev. Approssimazione uniforme su un insieme discreto: caratterizzazione ed unicità. Costruzione della m.a. su un insieme discreto e sua convergenza alla m.a. uniforme.

3.

Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Caratterizzazione della migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Equazioni normali. Matrice di Gram. Sistemi lineari sovradeterminati. Tecniche risolutive. Approssimazione polinomiale nel senso dei minimi quadrati nella base canonica. Caso continuo: matrice di Hilbert. Caso discreto: formulazione matriciale. Funzioni peso. Risoluzione delle equazioni normali in una base ortogonale. Polinomi ortogonali. Formula ricorsiva. Proprietà degli zeri. Condizione di unisolvenza. Valutazione di una combinazione lineare di polinomi ortogonali con l'algoritmo di Clenshaw. Polinomi ortogonali di Jacobi. Polinomi di Lagrange e di Chebychev. Polinomi di Laguerre e di Hermite.

4.

Interpolazione polinomiale. Relazione tra l'errore di interpolazione e l'errore di migliore approssimazione uniforme. Costanti e funzioni di Lebesgue. Risultati di convergenza. Influenza del posizionamento dei nodi di interpolazione. Nodi di Chebychev.

5.

Approssimazione trigonometrica. La trasformata discreta di Fourier (DFT) e la sua inversa (IDFT). Radici n-esime dell'unità. Formulazione matriciale della DFT. Interpolazione trigonometrica. Approssimazione trigonometrica nel senso dei minimi quadrati con prodotto scalare discreto e continuo. Calcolo approssimato dei coefficienti di Fourier di una funzione. Cenni su alcune tecniche di filtraggio.

6.

Approssimazione mediante funzioni spline. Funzioni polinomiali a tratti. Splines di ordine m. Lo spazio vettoriale $S_m^\Delta$. Rappresentazione locale e globale di una spline (PP-form e B-form). Costruzione della base delle potenze troncate. Differenze divise e differenze in avanti. B-splines di ordine m. Espressione esplicita di una B-spline come combinazione lineare di potenze troncate. Pricipali proprietà delle B-splines. Interpolazione ed approssimazione nel senso dei minimi quadrati mediante B-splines. Approssimazione ai minimi quadrati di una funzione bivariata mediante prodotti tensoriali di B-splines.

7.

Laboratorio: introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Generazione di vettori e matrici. Operatori vettoriali e matriciali. Istruzioni grafiche elementari. L'operatore di divisione matriciale. Scripts. Accesso a sottoarrays mediante sub-indexing. Dichiarazione di funzioni e passaggio dei parametri. Variabili globali e variabili locali.

Testi consigliati

1

T.J. Rivlin.
An Introduction to the Approximation of Functions.
Dover Publications Inc., New York, 1981.

2

D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici per l'Algebra Linare.
Zanichelli, Bologna, 1988.

3

G.H. Golub and C.F. Van Loan.
Matrix Computations.
The John Hopkins University Press, Baltimore, third edition, 1996.

4

Å. Björck.
Numerical Methods for Least Squares Problems.
SIAM, Philadelphia, 1996.

5

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici.
Zanichelli, Bologna, 1992.

6

W.L. Briggs and V.E. Henson.
The DFT, An Owner's Manual for the Discrete Fourier Transform.
SIAM, Philadelphia, 1995.

7

C. de Boor.
A Practical Guide to Splines, volume 27 of Applied Mathematical Sciences.
Springer-Verlag, New York, 1978.

8

C.K. Chui.
An Introduction to Wavelets, volume 1 of Wavelet Analysis and its Applications.
Academic Press, San Diego, CA, 1992.

Per quanto riguarda i richiami di Analisi Funzionale e l'approssimazione polinomiale (norma uniforme, minimi quadrati ed interpolazione) si può fare riferimento al testo [1].

Gli altri argomenti trattati durante il corso sono invece presenti in molti testi di Analisi Numerica, tra i quali, per una eventuale consultazione, segnaliamo:

[2], [3] o [4], per i complementi riguardanti la risoluzione di sistemi lineari sovradeterminati;

[5] o [6], per l'approssimazione trigonometrica e le metodologie di calcolo ad essa connesse;

[7] o [8], per le funzioni spline e soprattutto per la definizione, le proprietà e l'utilizzazione delle B-splines.