PROGRAMMA DEL CORSO DI
MATEMATICA COMPUTAZIONALE I
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - A.A. 2000/2001
DOCENTI: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ, DOTT. CARMINE DI FIORE

1. Analisi degli errori e codifica degli algoritmi. Stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo. Origine degli errori. Errore assoluto e relativo. Insieme dei numeri di macchina. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Memorizzazione di un numero reale: troncamento ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di macchina. Lo standard IEEE 754. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina. Analisi dell'errore in avanti e all'indietro. Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche. Cancellazione. Condizionamento per l'operazione di somma. Analisi all'indietro per il calcolo di una sommatoria. Stabilità in avanti e all'indietro. Problemi diretti, inversi e di identificazione. Condizionamento di un problema. Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Istruzioni di controllo di flusso. Sottoprogrammi e funzioni. Algoritmi strutturati.

2. Equazioni non lineari. Metodi iterativi. Ordine di convergenza. I metodi delle corde, di Newton e di Halley, e loro varianti. Comportamento del metodo di Newton in presenza di radici multiple. Calcolo dell'ordine di convergenza del metodo della secante. Sistemi di equazioni non lineari. I metodi di Newton e di Broyden: proprietà e varianti. Minimizzazione di funzioni: i metodi di Newton e di Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno (BFGS). L'acceleratore di Aitken.

3. Interpolazione. Enunciati dei teoremi di Weierstrass e Taylor. Unisolvenza, sistemi di Chebychev. Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Interpolazione di Hermite. Errore di interpolazione. Influenza del posizionamento dei nodi. Relazione tra l'errore di interpolazione e l'errore della migliore approssimazione uniforme. Le funzioni e le costanti di Lebesgue. Risultati sulla convergenza. Nodi di Chebychev. Polinomi di Chebychev e loro proprietà. Formula di Neville. Polinomio interpolante nella forma di Newton. Differenze divise. Espressione dell'errore di interpolazione mediante le differenze divise. Algoritmo di Horner.

4. Integrazione numerica. Formule di quadratura. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie di Newton-Cotes aperte e chiuse. Le formule dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson. Formule composte. Precisione algebrica delle formule di Newton-Cotes con un numero dispari di nodi. Funzioni peso. Formule di quadratura pesate per il calcolo di integrali generalizzati. Errore nell'integrazione. Il teorema di Peano. Espressione dell'errore nel caso in cui il nucleo di Peano non cambi segno. Calcolo dell'errore per le formule elementari e composte dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson. Polinomi ortogonali e loro proprietà. Formula ricorsiva a tre termini. Costruzione di una formula di quadratura Gaussiana. Ordine di convergenza ottimale. Polinomi di Legendre, di Chebychev, di Laguerre e di Hermite. Errore nelle formule Gaussiane. Calcolo efficiente degli zeri di un polinomio ortogonale. Polinomi di Chebychev di II specie e calcolo degli autovalori di una matrice tridiagonale simmetrica di Toeplitz.

5. Equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente. Lipschitzianità. Equazioni differenziali di ordine $p>1$. Metodi alle differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Consistenza ed ordine. Convergenza e stabilità. Metodi di Runge-Kutta espliciti. Costruzione dei metodi di Runge-Kutta a 1 e 2 stadi. Metodi impliciti. Condizione sul passo di integrazione che assicura la contrattività della funzione di iterazione associata ad un metodo implicito. Metodi predictor-corrector. Metodi di Runge-Kutta impliciti. Analisi dell'errore globale di discretizzazione e dell'errore di arrotondamento per il metodo di Eulero. Stima adattiva del passo di integrazione (metodi di Runge-Kutta-Fehlberg). Metodi multistep. I metodi di Adams, di Nystrom e di Milne. Errore locale di discretizzazione per un metodo multistep. Condizione necessaria e sufficiente affinché un metodo multistep sia consistente e di ordine $p$ (enunciato). Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist (enunciato).

6. Laboratorio: introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Generazione di vettori e matrici. Operatori e funzioni vettoriali e matriciali. Operatori e funzioni che agiscono componente per componente. L'operatore di divisione matriciale. Programmazione mediante scripts. Cicli. Accesso a sottoarrays mediante sub-indexing. Calcolo polinomiale. Istruzioni grafiche elementari. Grafico di funzioni in una e due variabili. Cenni sul controllo del colore e dell'ombreggiatura.

Testi consigliati

1

A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 1998.

2

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici.
Zanichelli, Bologna, 1992.

3

V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.

4

G. Monegato.
Fondamenti di Calcolo Numerico.
CLUT, Torino, 1998.

5

J. Stoer.
Introduzione all'Analisi Numerica vol. 1.
Zanichelli, Bologna, 1979.

6

J. Stoer and R. Bulirsch.
Introduzione all'Analisi Numerica vol. 2.
Zanichelli, Bologna, 1979.

Testi di consultazione

1

J.E. Dennis, Jr. and R.B. Schnabel.
Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations.
Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1983.