PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA IN CHIMICA - A.A. 1998/99
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

1.

Analisi degli errori e codifica degli algoritmi. Problemi ben posti. Condizionamento di un problema. Valutazione di un algoritmo in termini di stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria. Errore assoluto e relativo. Numeri di macchina. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Overflow, underflow, arrotondamento. Precisione di macchina. Operazioni di macchina. Cancellazione. Algoritmi e loro codifica mediante mappe strutturali.

2.

Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme vettoriali. Norme matriciali indotte. Autovalori ed autovettori. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali. Il primo ed il secondo teorema di Gershgorin. Matrici ortogonali.

3.

Sistemi lineari. Condizionamento di un sistema lineare. Stima del numero di condizione mediante i teoremi di Gershgorin. Sistemi caratterizzati da matrici diagonali, triangolari ed ortogonali. Richiami sull'algoritmo di Gauss con pivoting di colonna. Fattorizzazione LU mediante l'algoritmo di Gauss. Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice. La fattorizzazione QR per la risoluzione di un sistema lineare. Vantaggi computazionali. Sistemi sovradeterminati e sottodeterminati. Risoluzione nel senso dei minimi quadrati di sistemi lineari sovradeterminati. Metodi iterativi stazionari. Convergenza e consistenza. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi lineari. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizione sufficiente per la convergenza dei due metodi. Criteri di arresto.

4.

Equazioni non lineari. Condizionamento del problema. Il metodo di bisezione. Analisi della convergenza. Ordine di convergenza e costante asintotica dell'errore. Il metodo di Newton. Convergenza del metodo di Newton e suo comportamento in presenza di radici multiple. Metodi quasi-Newton: i metodi delle corde e delle secanti. Criteri di arresto.

5.

Interpolazione ed approssimazione. Formulazione generale del problema. Condizione di unisolvenza. Esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Valutazione dell'errore di interpolazione. Condizioni per la convergenza a zero dell'errore. I nodi di Chebychev. Espressione dei polinomi di Chebychev e calcolo dei loro zeri. Migliore approssimazione polinomiale nel senso dei minimi quadrati.

6.

Integrazione numerica. Formule di quadratura. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes aperte e chiuse. Formule elementari e composte. Formule dei trapezi, del punto medio e di Simpson. Errori nelle formule di quadratura interpolatorie. Il caso particolare della formula dei trapezi elementare e composta.

7.

Equazioni differenziali ordinarie. Formulazione generale del problema di Cauchy. Soluzioni locali e globali. Lipschitzianità. Metodi alle differenze finite. Costruzione di alcune formule mediante l'approssimazione della derivata con un rapporto incrementale. Metodi monostep e multistep. Metodi espliciti ed impliciti. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Consistenza. Ordine di convergenza. Errore di propagazione. Stabilità. Verifica dell'ordine di convergenza delle formule di Eulero, di Heun e della formula di Eulero modificata.

Testi consigliati

1

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Introduzione alla Matematica Computazionale.
Zanichelli, Bologna, 1987.

2

A. Quarteroni.
Elementi di Calcolo Numerico.
Progetto Leonardo, Ed. Esculapio, Bologna, 1995.