Il programma del corso riguarderà principalmente la trasformata di Fourier discreta (DFT), le sue proprietà e le sue applicazioni.
La DFT esprime una trasformazione lineare tra vettori di numeri complessi che ha importanti applicazioni matematiche e tecnologiche. Oltre ad avere un suo ruolo indipendente nell'algebra lineare e nel calcolo matriciale strutturato, essa fornisce uno schema computazionale efficiente per l'approssimazione dei coefficienti di Fourier di una funzione periodica e della trasformata di Fourier. Viene pertanto utilizzata in vari problemi collegati all'analisi di Fourier, come la risoluzione numerica di certe equazioni differenziali ordinarie, i problemi di convoluzione e deconvoluzione, l'interpolazione e l'approssimazione di funzioni mediante polinomi trigonometrici. Visti gli stretti legami di questa parte della matematica col processo dei segnali, la DFT ha un ruolo essenziale in vari ambiti applicativi legati a questo ambito, quali ad esempio la compressione, il denoising, la ricostruzione e l'interpretazione dei segnali. Opportunamente estesa a funzioni in più variabili, costituisce uno strumento fondamentale anche per l'elaborazione di immagini e video e la diagnostica non invasiva. Una delle ragioni del successo della DFT è l'esistenza di un algoritmo "veloce" per il suo calcolo, la FFT, che porta ad una sostanziale diminuzione della complessità computazionale, e quindi del tempo di calcolo, in problemi a grandi dimensioni.
Il corso presenterà l'argomento in modo esaustivo dal punto di vista matematico ed analizzerà alcune delle possibili applicazioni. Integrerà, inoltre, alcuni argomenti visti in altri corsi, quali ad esempio la Teoria dell'Approssimazione e l'Analisi di Fourier, con nozioni necessarie per una più profonda comprensione della trattazione. Alcune lezioni saranno dedicate ad attività di laboratorio Matlab in cui verranno messe in pratica le tecniche di calcolo presentate a lezione.
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