CALCOLO NUMERICO (elettrici, elettronici)
A.A. 1996/97

Prof. S. Seatzu, dott. G. Rodriguez e dott.ssa P. Zuddas

1.

ARITMETICA FINITA. Rappresentazione dei numeri in virgola mobile. Errori di arrotondamento e loro propagazione.

2.

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE. Trasformazioni lineari e matrici. Vettori linearmente indipendenti. Vettori ortogonali. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Autovalori e autovettori. Matrici simili. Diagonalizzazione di una matrice. Forma canonica di Jordan. Condizionamento degli autovalori e degli autovettori. Polinomio caratteristico. Matrice compagna. Matrici ortogonali. Matrici hermitiane. Norme vettoriali. Norme p. Norme 1, 2, $\infty$. Continuità delle norme. Equivalenza delle norme. Norme matriciali indotte. Proprietà caratteristiche. Norme 1, 2, $\infty$. Raggio spettrale. Matrici convergenti. Proprietà spettrali.

3.

SISTEMI LINEARI. Condizionamento di una matrice. Il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting. Matrici di permutazione. Fattorizzazione LU con il metodo di Gauss. Equilibratura di una matrice. Il metodo di fattorizzazione di Cholesky. Matrici di Householder e di Givens. I metodi QR di Householder, Givens, Gram-Schmidt e Gram-Schmidt modificato. Connessione tra numero di condizione e propagazione degli errori. I metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Accelerazione dei metodi iterativi. Minimi quadrati lineari. Risoluzione del problema mediante il metodo QR. Sistema singolare di una matrice. Valutazione del numero di condizione mediante i valori singolari. Risoluzione dei sistemi lineari e del problema dei minimi quadrati lineari mediante la decomoposizione a valori singolari.

4.

SISTEMI NON LINEARI. Funzione di iterazione. Funzioni contrattive. IL metodo di Newton. Ordine di convergenza. Il metodo della secante. Il metodo multidimensionale di Newton. Condizioni sufficienti per la contrattività. Funzioni di iterazione e teoremi di convergenza. Il metodo del gradiente. Risoluzione di un sistema nonlineare mediante il metodo del gradiente.

5.

AUTOVALORI E AUTOVETTORI. Il metodo di localizzazione di Gershgorin. Il metodo di Sturm per la valutazione degli autovalori di una matrice tridiagonale Hermitiana. Trasformazione di una matrice hermitiana in una simile tridiagonale ed hermitiana. Matrici di Hessenberg. Trasformazione di una matrice in una simile di Hessenberg. Il metodo QR per il calcolo degli autovalori. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse. Valutazione di altri autovalori mediante deflazione. Valutazione a posteriori dell'errore nel calcolo degli autovalori di una matrice hermitiana.

6.

INTERPOLAZIONE e APPROSSIMAZIONE. Interpolazione lagrangiana. Differenze divise e polinomio interpolante di Newton. Algoritmo di Neville. Valutazione dell'errore nell'interpolazione polinomiale. Approssimazione ottimale in norma uniforme. Funzione di Lebesgue. Interpolazione nei nodi di Chebychev. Funzioni splines. Interpolazione mediante le splines lineari e cubiche. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Polinomi ortogonali. Formula di ricorrenza a tre termini. Interpolazione trigonometrica. Approssimazione con polinomi trigonometrici nel senso dei minimi quadrati. Proprietà di convergenza uniforme e in norma 2. Interpolazione bidimensionale su griglie regolari. Approssimazione bidimensionale nel senso dei minimi quadrati. Approssimazione nel discreto di operatori differenziali. Valutazione dell'errore di discretizzazione.

7.

INTEGRAZIONE NUMERICA. Precisione algebrica. Teorema di Peano. Formule interpolatorie di Newton-Cotes. Valutazione del resto. Formule gaussiane. Metodologie di costruzione. Formule di integrazione con peso. Formule composte. Integrazione bidimensionale.

8.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di Cauchy ai valori iniziali. Metodi alle differenze finite. Consistenza dei metodi. Metodi monstep espliciti: Eulero-Cauchy, Eulero modificato, Heun, Runge-Kutta del 3 e 4 ordine. Errore di discretizzazione locale e globale. Errore di arrotondamento locale e globale. Metodi monostep a passo variabile. Scelta ottimale del passo. Metodi monostep impliciti. Metodi multistep. Metodi Predictor-Corrector. Errore di discretizzazione. Zero stabilità. Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità. Risoluzione di equazioni differenziali con valori ai limiti. Discretizzazione del problema con metodi alle differenze finite. Risoluzione del problema discretizzato con metodi iterativi. Analisi dell'errore.

Riferimenti bibliografici

1

V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.

2

G. Gambolati.
Metodi Numerici.
Edizioni Libreria Cortina, Padova, 1994.

3

G. Monegato.
Calcolo Numerico.
Levrotto & Bella, Torino, 1991.

4

D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici per l'Algebra Linare.
Zanichelli, Bologna, 1988.