PROGRAMMA DEL CORSO DI
METODI NUMERICI PER L'INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA
A.A. 2008/2009 - DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

1. Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme vettoriali e funzionali. Convergenza e successioni di Cauchy. Calcolo matriciale. Rango. Determinante e matrice inversa. Autovalori e autovettori. Raggio spettrale. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Matrici dotate di struttura particolare: matrici Hermitiane, unitarie, triangolari e a banda. Norme matriciali e loro proprietà. Principali norme matriciali naturali. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali.

2. Analisi degli errori e codifica degli algoritmi. Problemi ben posti. Condizionamento di un problema. Algoritmi. Stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo. Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Origine degli errori. Errore assoluto e relativo. Insieme dei numeri di macchina. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Memorizzazione di un numero reale: troncamento ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di macchina. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina. Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche. Cancellazione.

3. Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari. Condizionamento di un sistema lineare. Risoluzione di sistemi lineari diagonali, ortogonali e triangolari. Algoritmo di triangolarizzazione di Gauss. Pivoting parziale e totale. Fattorizzazione $A=LU$. Matrici di permutazione e fattorizzazione $PA=LU$. Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice. Crescita del numero di condizionamento e propagazione degli errori di arrotondamento nell'algoritmo di Gauss.

4. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Metodi iterativi lineari stazionari del prim'ordine. Convergenza e consistenza. Condizioni sufficienti o necessarie e sufficienti per la convergenza. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Classi di matrici per cui i due metodi convergono. Criteri di arresto.

5. Interpolazione ed approssimazione. Formulazione generale del problema. Esistenza ed unicità. Forma di Lagrange. Errore di interpolazione. Alcuni risultati sulla convergenza. Nodi di Chebychev. Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati mediante un polinomio algebrico.

6. Integrazione numerica. Formule di quadratura. Ordine di precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di Newton-Cotes elementari e composte.

7. Equazioni differenziali ordinarie. Formulazione del problema di Cauchy. Lipschitzianità. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Metodi alle differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep. Costruzione di alcune formule alle differenze finite. Metodi di Runge-Kutta espliciti. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Convergenza e stabilità. Consistenza ed ordine. Verifica dell'ordine di convergenza per i metodi di Eulero-Cauchy, Eulero modificato e Heun mediante sviluppo in serie di Taylor dell'errore locale. Cenni sulla propagazione degli errori di arrotondamento.

Bibliografia

1

G. Rodriguez.
Algoritmi Numerici.
Pitagora Editrice, Bologna, 2008.

2

A. Quarteroni and F. Saleri.
Introduzione al Calcolo Scientifico.
Springer, Milano, 2002.

3

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Introduzione alla Matematica Computazionale.
Zanichelli, Bologna, 1987.