REGISTRO DELLE LEZIONI DI
MATEMATICA APPLICATA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA, INFORMATICA E DELLE TELECOMUNICAZIONI
6 CFU - A.A. 2024/2025
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 21. novembre 2024

1.         Martedì 3/10/2023, 15–17.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Applicazioni dell'analisi numerica. Problemi ben posti. Esempi di problemi mal posti. Numero di condizionamento. Algoritmi.

2.         Mercoledì 2/10/2024, 15–17.         ore: 2(4)

Stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria. Cenni sull'aritmetica di macchina. Esempi di algoritmi. Spazi vettoriali. Sottospazi. spazi $C[a,b]$ e $L^2[a,b]$. Lo spazio dei polinomi. Combinazioni lineari. Sottospazio generato da $k$ vettori. Indipendenza lineare.

3.         Venerdì 4/10/2024, 11–14.         ore: 3(7)

Riepilogo spazi vettoriali. Esempi. Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$. Esempi. Principali norme utilizzate per le funzioni. Normalizzazione. Norme equivalenti. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di Cauchy. Spazi metrici e spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità. Prodotti scalari canonici di ${\mathbb{R}}^n$ e di $L^2[a,b]$. Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato (MGS).

4.         Lunedì 7/10/2023, 16–18.         ore: 2(9)

Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato (MGS). Esercizi sul metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato. Cenni sull'importanza numerica del metodo e le sue applicazioni. Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Spazio lineare delle matrici. Prodotto matriciale.

5.         Martedì 8/10/2023, 15–17.         ore: 2(11)

Riepilogo calcolo matriciale. Prodotto matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione del prodotto matriciale col prodotto scalare di ${\mathbb{R}}^n$ e con la norma-2. Esempi. Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico.

6.         Venerdì 12/10/2024, 11–14.         ore: 3(14)

Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli autovalori. Cenni sul calcolo degli autovettori. Esercizi di riepilogo. Introduzione alla serie di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale, frequenza. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari. Polinomi trigonometrici. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari.

7.         Martedì 15/10/2023, 15–17.         ore: 2(16)

Riepilogo polinomi trigonometrici. Formule di Werner. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari e calcolo delle loro norme. Approssimazione di un vettore mediante proiezione su una base ortogonale. Coefficienti di Fourier. Migliore approssimazione di un segnale nel senso dell'energia (minimi quadrati). Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Serie di Fourier associata ad una funzione definita su un intervallo. Scelta del parametro $\omega$.

8.         Mercoledì 16/10/2024, 15–17.         ore: 2(18)

Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni e commenti sulla convergenza. Funzioni pari e dispari. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esercizi. Funzioni continue e regolari a tratti.

9.         Venerdì 18/10/2024, 11–14.         ore: 3(21)

Teorema di convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di decadimento dei coefficienti di Fourier. Motivazione del calcolo di derivate e integrali di una serie di Fourier. Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo. Esempi. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier.

10.         Martedì 22/10/2023, 15–17.         ore: 2(23)

Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa della serie di Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Passaggio dalla serie alla trasformata. Trasformata di Fourier e antitrasformata. Funzione di Heaviside.

11.         Mercoledì 23/10/2024, 15–17.         ore: 2(25)

Trasformate di alcune funzioni elementari: impulsi esponenziali troncati destro, sinistro, pari e dispari. Applicazione della linearità. Onda quadra. Funzione ${\mathrm{sinc}}$. Delta di Dirac e sua trasformata. Esempi. Trasformata della Gaussiana. Proprietà della trasformata di Fourier. Linearità. Traslazione nello spazio ordinario.

12.         Venerdì 25/10/2024, 11–14.         ore: 3(28)

Riepilogo trasformata di Fourier. Traslazione nello spazio delle frequenze. Variazione di scala. Simmetria (trasformata di una trasformata). Modulazione. Esercizi.

13.         Martedì 29/10/2023, 15–17.         ore: 2(30)

Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Esempi. Convoluzione. Commutatività. La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate. Esercizi. La delta di Dirac è l'elemento neutro per la convoluzione.

14.         Martedì 5/11/2023, 15–17.         ore: 2(32)

Riepilogo convoluzione. Proprietà della delta di Dirac. Risoluzione di un'equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esercizi di riepilogo sulla trasformata di Fourier.

15.         Mercoledì 6/11/2024, 15–17.         ore: 2(34)

Matrici strutturate. Matrici Hermitiane, simmetriche, definite positive, e loro proprietà. Matrici ortogonali e unitarie. Proprietà e legame col processo di Gram-Schmidt. Matrici triangolari, diagonali e loro proprietà. Matrici sparse e loro memorizzazione. Matrici tridiagonali e a banda.

16.         Venerdì 8/11/2024, 11–13.         ore: 2(36)

Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius. Norme naturali e proprietà. Espressione della norma naturale indotta dalla norma vettoriale con indice $\infty$, 1 e 2. Il caso delle matrici simmetriche. Norma della matrice identità. Esempi.

E1.         Venerdì 8/11/2024, 13–14.         ore: 1(1)

Esercitazione Esercizi di riepilogo in preparazione alla prima prova parziale.

17.         Martedì 19/11/2023, 15–17.         ore: 2(38)

Riepilogo norme matriciali. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Generalità sui sistemi lineari. Rappresentazione matriciale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Condizionamento assoluto e relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti. Esempio numerico sul condizionamento. Condizionamento di un sistema lineare nel caso generale. Proprietà del numero di condizionamento. Numero di condizionamento in norma-2 nel caso generale e per matrici simmetriche.

18.         Mercoledì 20/11/2024, 15–17.         ore: 2(40)

Riepilogo numero di condizionamento. Esercizio di riepilogo su norme e condizionamento. Sistemi lineari diagonali, ortogonali, triangolari inferiori e superiori: algoritmo di risoluzione, complessità, occupazione di memoria e condizionamento. Introduzione al metodo di Gauss.

Totale ore: 40 (lezione), 1 (esercitazione)