SEMINARI AVANZATI DI MATEMATICA APPLICATA
ALGEBRA LINEARE NUMERICA
2 CFU - A.A. 2013/2014
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 17. aprile 2014
1.
Giovedì 13/3/2013, 9-11. ore:
2(2)
Introduzione al corso. Aritmetica di macchina. Memorizzazione di un numero
reale. Standard IEEE 754. Operazioni di macchina. Condizionamento di un
problema. Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche.
Cancellazione. Propagazione nelle formule ricorsive. Esempi.
2.
Venerdì 14/3/2013, 11-13. ore:
2(4)
Varie rappresentazioni del prodotto matriciale. Prodotto a blocchi. Calcolo
matriciale su Matlab. Combinazioni lineari. Forme quadratiche.
Decomposizione di una matrice in somma di matrici di rango 1. Prodotti di Schur
e Kronecker. Applicazioni: calcolo dell'inversa, matrici ortogonali,
fattorizzazione spettrale, approssimazioni a rango basso.
3.
Giovedì 20/3/2013, 9-11. ore:
2(6)
Algoritmo di Gauss con pivoting parziale e fattorizzazione . Risoluzione
di sistemi lineari e calcolo del determinante. Stabilità e condizionamento.
Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche definite positive.
Complessità. Fattorizzazione QR. Conservazione del numero di condizionamento.
Algoritmo di Gram-Schmidt.
4.
Venerdì 21/3/2013, 11-13. ore:
2(8)
Proprietà della fattorizzazione QR. Costruzione delle matrici elementari di
Householder. Fattorizzazione QR di Householder. Matrici elementari di Givens.
Cenni sulla fattorizzazione QR di Givens. Fattorizzazione di matrici
rettangolari.
5.
Giovedì 27/3/2013, 9-11. ore:
2(10)
Sistemi lineari quadrati, sovradeterminati e sottodeterminati. Problemi a rango
non pieno. Soluzione nel senso dei minimi quadrati. Esempi: regressione
polinomiale ed equazioni integrali. Sistema delle equazioni normali e sua
risoluzione. Matrice pseudoinversa. Condizionamento del problema. Soluzione
mediante fattorizzazione QR. Sistemi sovra e sottodeterminati con matrice
diagonale.
6.
Venerdì 28/3/2013, 11-13. ore:
2(12)
Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati. Teorema che
caratterizza la soluzione. Equazioni normali. Applicazioni: problema dei
momenti e coefficienti di Fourier. Importanza delle funzioni ortogonali.
Decomposizione ai valori singolari. Vettori singolari. Connessione al problema
agli autovalori. Approssimazioni a rango basso. Cenni sulla principal
component analysis.
7.
Giovedì 3/4/2013, 9-11. ore:
2(14)
Introduzione all'integrazione numerica. Grado di precisione/esattezza e
convergenza di formule di quadratura. Teorema di Szëgo. Metodo dei
coefficienti indeterminati. Formule di quadratura di tipo interpolatorio.
Formule elementari di Newton-Cotes: formula dei rettangoli, trapezi e di
Simpson. Stime dell'errore teorico. Formule composite di Newton-Cotes: formula
dei trapezi e formula di Simpson. Stime dell'errore teorico.
8.
Venerdì 4/4/2013, 11-13. ore:
2(16)
Formule di quadrtura di tipo interpolatorie pesate. Formule Gaussiane: formula
di Gauss-Legendre, Gauss-Chebychev e Gauss-Jacoby. Equazioni integrali.
Classificazione. Metodo di Nyström e metodo di proiezione per equazioni
integrali di Fredholm di seconda specie su intervalli limitati.
9.
Giovedì 17/4/2013, 9-11. ore:
2(18)
Riepilogo SVD. Basi per il nucleo e l'immagine di una trasformazione lineare.
SVD compatta. Proprietà di stabilità per la SVD e confronto con autovalori
e autovettori. Soluzione ai minimi quadrati e soluzione normale. Ipotesi
presenti nei problemi malcondizionati. Regolarizzazione mediante TSVD. Cenni su
altri metodi di regolarizzazione: Tikhonov e metodi iterativi.
10.
Giovedì 17/4/2013, 11-13. ore:
2(20)
Laboratorio Matlab. Discretizzazione di un'equazione integrale mediante
proiezione. Calcolo dei dati mediante quadratura numerica. Aggiunta di noise.
Soluzione ai minimi quadrati e mediante TSVD. Confronto con la soluzione
esatta. Scelta del parametro di regolarizzazione: discrepanza, curva-L,
generalized cross validation (GCV).
Totale ore: 20
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it