REGISTRO DELLE LEZIONI DI
CALCOLO NUMERICO 2
CORSI DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA ELETTRICA
E ELETTRONICA - 6 CFU - A.A. 2010/2011
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 13. gennaio 2011
1.
Martedì 12/10/2010, 11-13. ore:
2(2)
Introduzione al corso. Richiami di Algebra Lineare. Spazi di Hilbert e norme
indotte. Ortogonalità e angolo tra vettori. Esempi.
2.
Giovedì 14/10/2010, 11-13. ore:
2(4)
Norme matriciali. Costruzione della norma matriciale con indice 2. Matrici
riducibili e vantaggi derivanti dalla riducibilità. Condizione necessaria e
sufficiente per l'irriducibilità. Grafo associato ad una matrice.
3.
Venerdì 15/10/2010, 9-11. ore:
2(6)
Grafi fortemente connessi e irriducibilità. Il caso delle matrici
tridiagonali. Teoremi di localizzazione degli autovalori. Cerchi riga e
cerchi colonna. Il primo teorema di Gershgorin e i suoi corollari. Il secondo
e il terzo teorema di Gershgorin. Applicazioni. Matrici a predominanza
diagonale stretta o irriducibile. Teoremi.
4.
Martedì 19/10/2010, 11-13. ore:
2(8)
Riepilogo metodi diretti: condizionamento, algoritmo di fattorizzazione di
Gauss e fattorizzazione LU, pivoting e stabilità. Equilibratura di un sistema
lineare per righe e per colonne. Altre fattorizzazioni LU. Fattorizzazioni
e per una matrice simmetrica.
5.
Giovedì 21/10/2010, 11-13. ore:
2(10)
Inerzia di una matrice. Legge di Sylvester. Fattorizzazione di Cholesky per
una matrice simmetrica definita positiva. Algoritmo e complessità. Alcuni
commenti sull'algoritmo di Cholesky. Fattorizzazione QR. Confronto con la
fattorizzazione LU. Invarianza del numero di condizionamento. Matrici
elementari di Householder.
6.
Venerdì 22/10/2010, 9-11. ore:
2(12)
Costruzione stabile delle matrici elementari di Householder e implementazione
ottimizzata del prodotto per un vettore. Rappresentazione alternativa delle
matrici elementari di Householder. Fattorizzazione QR di Householder. Analisi
dei primi 3 passi. Descrizione dell'-esimo passo. Algoritmo e sua
complessità.
7.
Martedì 26/10/2010, 11-13. ore:
2(14)
Applicazione della fattorizzazione QR di Householder a matrici rettangolari.
Matrici elementari di Givens. Fattorizzazione QR di Givens. Applicazione ad
una matrice rettangolare. Vantaggi dell'algoritmo di Givens. Cenni sugli
algoritmi di ortogonalizzazione di vettori. Sistemi lineari sovradeterminati e
sottodeterminati.
8.
Venerdì 29/10/2010, 9-11. ore:
2(16)
Esercizi sulle fattorizzazioni QR di Householder e di Givens. Sistemi
rettangolari. Sistemi singolari o a rango non pieno. Riformulazione di un
sistema sovradeterminato come problema ai minimi quadrati. Calcolo del
gradiente di alcune funzioni vettoriali.
9.
Martedì 2/11/2010, 11-13. ore:
2(18)
Problemi ai minimi quadrati. Minimizzazione della norma-2 del residuo.
Equazioni normali. Risoluzione mediante fattorizzazione di Cholesky. Matrice
pseudo-inversa. Risoluzione mediante la fattorizzazione QR. Confronto tra i
due metodi. Riepilogo metodi iterativi per sistemi lineari.
L1.
Giovedì 4/11/2010, 11-13. ore:
2(18/2)
Laboratorio Introduzione a Matlab. Programmazione mediante scripts. Definizione estensiva
ed intensiva di arrays. Fattorizzazioni matriciali. Sperimentazione numerica
sulla risoluzione di sistemi lineari. Scrittura di una function. Costruzione
di una matrice elementare di Householder.
10.
Venerdì 5/11/2010, 9-11. ore:
2(20)
Riepilogo metodi iterativi basati su splitting additivo. Significato
del precondizionamento. Condizioni sugli autovalori della matrice
precondizionata. Espressione dei metodi iterativi in funzione del vettore
residuo. Implementazione pratica del precondizionamento. Fattorizzazioni LU e
Cholesky incomplete. Uso di precondizionatori fattorizzati. Cenni sul
precondizionatore ottimale di Chan. Metodi di rilassamento. Metodi di
Richardson.
11.
Martedì 9/11/2010, 11-13. ore:
2(22)
Metodi ``di discesa''. Determinazione del passo ottimale. Il metodo del
gradiente. Calcolo del residuo. Algoritmo. Precondizionamento. Ottimalità
di un punto rispetto ad una direzione. Criterio per rilevare l'ottimalità di
un punto rispetto ad una direzione. Direzioni A-coniugate.
12.
Giovedì 11/11/2010, 11-13. ore:
2(24)
Costruzione di direzioni A-coniugate. Il metodo del gradiente coniugato. Cenni
sul precondizionamento. Applicazione alle equazioni normali. Metodi basati su
iterazioni in sottospazi di Krylov. Il gradiente coniugato come metodo di
Krylov. Cenni sul metodo GMRES. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili e
unitariamente diagonalizzabili. Diagonalizzabilità ed indipendenza degli
autovettori. Fattorizzazione spettrale.
13.
Venerdì 12/11/2010, 9-11. ore:
2(26)
Teorema di Schur. Teorema spettrale. Matrici normali. Sottoproblemi agli
autovalori. Teorema di Bauer-Fike. Il caso delle matrici Hermitiane. Il
metodo delle potenze. Ipotesi di convergenza e loro rilassamento.
Normalizzazione. Criteri di stop.
14.
Martedì 16/11/2010, 11-13. ore:
2(28)
Algoritmo del metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse.
Raffinamento di una stima di un autovalore. Determinazione dell'autovettore
corrispondente ad un autovalore noto. Algoritmo QR. Conservazione dello
spettro e della simmetria. Fattorizzazioni spettrale e di Schur.
Considerazioni sulla convergenza del metodo. Cenni sul passaggio in forma di
Hessenberg. Introduzione alle equazioni non lineari.
L2.
Giovedì 18/11/2010, 11-13. ore:
2(28/4)
Laboratorio Sperimentazione numerica sui metodi iterativi per i sistemi lineari e sul
calcolo degli autovalori. Uso delle matrici sparse in Matlab, e di alcune
funzioni ad esse dedicate. Istruzioni grafiche di base.
15.
Venerdì 19/11/2010, 9-11. ore:
2(30)
Equazioni non lineari. Convergenza e ordine di un metodo. Serie di Taylor.
Caratterizzazione algebrica ed analitica delle radici semplici e multiple.
Condizionamento di una radice semplice e di una doppia. Calcolo degli zeri di
un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo di bisezione.
Algoritmo e studio della convergenza.
16.
Giovedì 25/11/2010, 11-13. ore:
2(32)
Il metodo di Newton. Costruzione geometrica ed analitica. Studio della
convergenza e dell'ordine. Metodi quasi-Newton: corde e secanti. Iterazioni
di punto fisso. Interpretazione geometrica.
17.
Venerdì 26/11/2010, 9-11. ore:
2(34)
Contrattività. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo
iterativo. Condizione perché il metodo sia del second'ordine. Esempi.
Sistemi di equazioni non lineari. Il metodo di Newton multidimensionale. I
metodi delle corde, di Newton-Jacobi e di Newton-Gauss-Seidel.
18.
Martedì 30/11/2010, 11-13. ore:
2(36)
Funzioni totalmente differenziabili. Punti di attrazione. Teorema di
Ostrowski. Ordine di convergenza del metodo di Newton multidimensionale.
Introduzione all'interpolazione ed all'approssimazione di funzioni.
Interpolazione nel caso generale. Determinante di Haar ed unisolvenza. I
teoremi di Taylor e di Weierstrass. Interpolazione polinomiale. Esistenza ed
unicità del polinomio interpolante. Problemi connessi alla rappresentazione
del polinomio interpolante mediante la base canonica.
19.
Giovedì 2/12/2010, 11-13. ore:
2(38)
Polinomi caratteristici e polinomio interpolante di Lagrange. Esempi. Errore
di interpolazione. Dimostrazione del teorema sull'errore di interpolazione.
Alcuni risultati sulla convergenza. Nodi di Chebyshev.
20.
Venerdì 3/12/2010, 9-11. ore:
2(40)
Confronto dell'errore di interpolazione con quello di migliore approssimazione.
Funzioni e costanti di Lebesgue. Crescita ottimale. Confronto dei nodi
equispaziati con quelli di Chebyshev. Condizionamento della rappresentazione di
Lagrange. La formula di Neville e lo schema per il calcolo del polinomio
interpolante in un punto. Aggiunta di un punto di interpolazione. Differenze
divise e schema per il loro calcolo.
21.
Martedì 7/12/2010, 11-13. ore:
2(42)
Il polinomio interpolante nella forma di Newton. Rappresentazione dell'errore
di interpolazione mediante le differenze divise. Migliore approssimazione nel
senso dei minimi quadrati. Il caso discreto: formulazione e risoluzione del
sistema lineare sovradeterminato associato al problema. Migliore
approssimazione in uno spazio di Hilbert. Proprietà di ortogonalità che
caratterizza la soluzione.
22.
Giovedì 9/12/2010, 11-13. ore:
2(44)
Sistema delle equazioni normali. Il caso dei polinomi algebrici e
trigonometrici. Cenni sulle funzioni spline. Formule di quadratura.
Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Quadratura
interpolatoria.
23.
Venerdì 10/12/2010, 9-11. ore:
2(46)
Formule di Newton-Cotes aperte e chiuse. Le formule dei trapezi, dei
rettangoli e di Simpson. Formule elementari e composte. Formule di
Newton-Cotes con pari. Errore di quadratura. Il caso della formula dei
trapezi.
24.
Martedì 14/12/2010, 11-13. ore:
2(48)
Funzioni peso ed integrali con singolarità. Integrali su intervalli infiniti
e integrali di funzioni rapidamente oscillanti. Polinomi ortogonali rispetto
ad un prodotto scalare pesato. Polinomi ortogonali e formula ricorsiva a tre
termini. Principali proprietà dei polinomi ortogonali. Formule di
quadratura Gaussiane. Calcolo dei pesi. Precisione algebrica ottimale.
Calcolo degli zeri dei polinomi ortogonali. Alcune famiglie di polinomi
ortogonali.
25.
Giovedì 16/12/2010, 11-13. ore:
2(50)
Errore nelle formule Gaussiane. Differenze finite e formule di quadratura.
Errori di discretizzazione e di arrotondamento. Stima automatica del passo di
integrazione: le formule di Runge-Kutta-Fehlberg.
26.
Venerdì 17/12/2010, 9-11. ore:
2(52)
Impiego di metodi impliciti. Condizione sul passo di integrazione che assicura
la convergenza dell'iterazione. Metodi predictor-corrector. Sistemi di
equazioni differenziali. Formulazione multidimensionale del problema di
Cauchy. Lipschitzianità. Equazioni di ordine superiore al primo.
Applicazione di una formula alle differenze finte ad un sistema. Costruzione
di formule multistep. Le formule di Adams, di Nystrom e di Milne.
27.
Martedì 21/12/2010, 11-13. ore:
2(54)
Formulazione generale dei metodi multistep. Consistenza di un metodo numerico.
Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e
ordine. Esempi. Condizioni sui coefficienti dei polinomi caratteristici della
formula che garantiscono ordine . Condizione delle radici. Il teorema di
Dahlquist.
28.
Martedì 11/1/2011, 11-13. ore:
2(56)
Zero-stabilità di una formula alle differenze finite. Condizione delle
radici. Teorema di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist. Cenni sulla
soluzione di un'equazione alle differenze. Analisi di un particolare sistema
di equazioni differenziali lineari stiff. A-stabilità. Seconda barriera di
Dahlquist.
L3.
Giovedì 13/1/2011, 11-13. ore:
2(56/6)
Laboratorio Funzioni inline e puntatori a funzioni. Costruzione di comandi mediante
stringhe e loro esecuzione. Function-functions. Risoluzione di equazioni non
lineari e di equazioni differenziali. Rappresentazione di superfici. Cenni
sul sistema handle graphics.
Totale ore: 56
(lezione), 6 (laboratorio)
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it