PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO 2
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA, ELETTRONICA ED ENERGETICA
A.A. 2010/2011 - DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

1. Complementi di Algebra Lineare e di Teoria dell'Errore. Spazi di Hilbert. Norme matriciali naturali. Matrici riducibili. Teoremi di Gershgorin. Matrici diagonalmente dominanti.

2. Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari. Fattorizzazioni LU. Equilibratura di un sistema lineare. Algoritmo di Cholesky. Fattorizzazione QR. Matrici elementari di Householder e di Givens. Fattorizzazione QR di Householder e di Givens. Risoluzione di un sistema lineare sovradeterminato nel senso dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali. Matrice pseudoinversa.

3. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Matrici sparse. Precondizionamento di un metodo iterativo. Fattorizzazioni LU incomplete. Metodi di rilassamento. Il metodo del gradiente. Il metodo del gradiente coniugato. Precondizionamento dei due metodi. Cenni sui metodi di Krylov.

4. Valutazione numerica di autovalori e autovettori. Matrici diagonalizzabili. Fattorizzazione spettrale. Forma canonica di Schur. Condizionamento del problema agli autovalori. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse e loro applicazioni. L'algoritmo QR e sue proprietà di convergenza. Passaggio in forma di Hessenberg.

5. Radici di equazioni non lineari. Convergenza e ordine di un metodo iterativo. Caratterizzazione delle radici multiple. Condizionamento del problema. Calcolo degli zeri di un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo di bisezione. Il metodo di Newton. I metodi delle corde e delle secanti. Iterazioni di punto fisso. Contrattività e convergenza. Il metodo di Newton per la risoluzione di un sistema di equazioni non lineari. Varianti del metodo. Teorema di Ostrowski.

6. Interpolazione ed approssimazione. Formulazione generale del problema. Esistenza ed unicità. Forma di Lagrange. Errore di interpolazione. Alcuni risultati sulla convergenza. Nodi di Chebychev. Confronto con l'errore di migliore approssimazione uniforme. Costanti di Lebesgue e stabilità. Formula di Neville. Forma di Newton. Differenze divise. Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati mediante un polinomio algebrico, rispetto ad un prodotto scalare continuo o discreto. Polinomi ortogonali.

7. Integrazione numerica. Formule di quadratura. Ordine di precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di Newton-Cotes elementari e composte. Funzioni peso e integrali con singolarità. Polinomi ortogonali: formule ricorsive ed altre proprietà. Precisione ottimale. Formule di quadratura Gaussiane. Espressione dell'errore per le formule di quadratura esaminate.

8. Equazioni differenziali ordinarie. Costruzione di formule alle differenze finite mediante formule di quadratura. Metodo di Runge-Kutta-Fehlberg per la scelta adattiva del passo di integrazione. Risoluzione iterativa di formule implicite. Metodi predictor-corrector. Formulazione multidimensionale del problema di Cauchy. Risoluzione di un sistema del prim'ordine e di una equazione di ordine $p$. Metodi multistep. Formulazione generale e costruzione di alcuni classi di formule. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine. Zero-stabilità. Condizione delle radici e Teorema di Dahlquist. Equazioni alle differenze lineari. Cenni sull'A-stabilità e sulle equazioni differenziali stiff.

9. Laboratorio Matlab. Sperimentazione numerica su alcuni degli algoritmi studiati.

Bibliografia

1

G. Rodriguez.
Algoritmi Numerici.
Pitagora Editrice, Bologna, 2008.

2

A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 2000.
Seconda edizione.

3

V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1995.