REGISTRO DELLE LEZIONI DI
CALCOLO NUMERICO 1
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA ED ELETTRONICA
A.A. 2009/2010
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 3. maggio 2010
1.
Lunedì 1/3/2010, 11-13. ore:
2(2)
Introduzione al corso. Problemi ben posti. Numero di condizionamento.
Condizionamento del prodotto tra due numeri reali. Definizione di algoritmo.
2.
Martedì 2/3/2010, 15-16. ore:
1(3)
Esempi di algoritmi. Stabilità, complessità computazionale ed occupazione
di memoria di un algoritmo.
3.
Lunedì 8/3/2010, 11-13. ore:
2(5)
Complessità computazionale di un algoritmo. Problemi risolubili. Richiami
di Algebra Lineare. Spazi vettoriali. Sottospazi. Combinazioni lineari e
indipendenza lineare. Basi e dimensione. Esempi di spazi vettoriali.
4.
Martedì 9/3/2010, 15-16. ore:
1(6)
Spazi normati. Esempi di norme vettoriali. Norme vettoriali con indice 1, 2 e
. Norme funzionali con indice 2 e . Norme equivalenti.
Successioni convergenti.
5.
Giovedì 11/3/2010, 15-17. ore:
2(8)
Successioni di Cauchy. Spazi completi. Matrici. Aggiunta e trasposta.
Operazioni su matrici. Prodotto matriciale e potenza di una matrice. Matrice
inversa, determinante, rango e proprietà. Autovalori e autovettori.
Polinomio caratteristico.
6.
Lunedì 15/3/2010, 11-13. ore:
2(10)
Spettro e raggio spettrale di una matrice. Matrici difettive. Proprietà
degli autovalori. Matrici di forma particolare e loro proprietà: Hermitiane,
definite positive, unitarie, triangolari, diagonali, a banda, sparse. Norme
matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. Norma di Frobenius. Norme
naturali. Calcolo della norma naturale con indice .
7.
Martedì 16/3/2010, 15-16. ore:
1(11)
Calcolo della norma naturale con indice . Norme matriciali con indice
1 e 2. Norma-2 per matrici simmetriche. Relazione tra raggio spettrale e
norme matriciali.
8.
Giovedì 18/3/2010, 15-17. ore:
2(13)
Relazione tra raggio spettrale e norme matriciali. Sistemi di numerazione in
base qualsiasi. Errori assoluti e relativi. Rappresentazione in virgola
fissa e in virgola mobile. Segno, mantissa ed esponente di un numero.
Insieme dei numeri di macchina. Condizione di normalizzazione. Funzione di
memorizzazione. Underflow e overflow. Troncamento. Errore di troncamento.
9.
Lunedì 22/3/2010, 11-13. ore:
2(15)
Arrotondamento. Errore di arrotondamento. Vantaggi rispetto al troncamento.
Arrotondamento unitario. Epsilon di macchina. Standard IEEE 754. Variabili
in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina e aritmetica non
aberrante. Esempi. Propagazione degli errori nel prodotto e rapporto di
numeri reali. Condizionamento della somma algebrica. Cancellazione.
10.
Martedì 23/3/2010, 15-16. ore:
1(16)
Generalità sui sistemi lineari. Condizionamento di un sistema in presenza
di perturbazioni sul termine noto. Numero di condizionamento.
Condizionamento nel caso generale.
11.
Giovedì 25/3/2010, 15-17. ore:
2(18)
Proprietà del numero di condizionamento. Esempi. Risoluzione di sistemi con
struttura particolare. Sistemi diagonali, ortogonali e triangolari inferiori:
proprietà, algoritmi e complessità.
12.
Lunedì 29/3/2010, 11-13. ore:
2(20)
Risoluzione di sistemi triangolari superiori. Il metodo di
triangolarizzazione di Gauss. Analisi di un esempio numerico e studio dei
primi due passi del metodo.
E1.
Martedì 30/3/2010, 11-13. ore:
2(2)
Esercitazione Esercizi su aritmetica di macchina, norme di matrici e condizionamento.
13.
Martedì 30/3/2010, 15-16. ore:
1(21)
Analisi del passo dell'algoritmo di Gauss. Descrizione della struttura
dati utilizzata. Mappa strutturale dell'algoritmo di Gauss. Complessità ed
occupazione di memoria.
14.
Giovedì 8/4/2010, 15-17. ore:
2(23)
Breakdown dell'algoritmo di Gauss. Matrici a predominanza diagonale stretta.
Pivoting parziale e totale. Giustificazione del pivoting sul piano della
stabilità numerica. Implementazione del pivoting parziale. Rilevazione
della singolarità della matrice. Teorema di Wilkinson. Esempi.
Fattorizzazione LU e sua utilizzazione per la risoluzione di un sistema
lineare. Calcolo del determinante e della matrice inversa.
15.
Lunedì 12/4/2010, 11-13. ore:
2(25)
Riepilogo fattorizzazione LU. Matrici di scambio e di permutazione:
definizione e proprietà. Fattorizzazione e suo uso per risolvere
sistemi lineari e calcolare inverse e determinanti. Costruzione pratica della
fattorizzazione . Esempi. Crescita del condizionamento nell'algoritmo
di Gauss con pivoting.
E2.
Martedì 13/4/2010, 11-13. ore:
2(4)
Esercitazione Algoritmo di Gauss. Fattorizzazione .
16.
Martedì 13/4/2010, 15-16. ore:
1(26)
Metodi iterativi per sistemi lineari. Vantaggi rispetto ai metodi diretti.
Metodi iterativi del prim'ordine. Convergenza e consistenza. Metodi
iterativi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizione necessaria e
sufficiente per la consistenza. Relazione tra l'errore al passo e
l'errore iniziale.
17.
Giovedì 15/4/2010, 15-17. ore:
2(28)
Condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente per la
convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo. I
metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Formulazione matriciale e in componenti.
Parallelizzabilità. Classi di matrici per cui i metodi convergono. Criteri
di arresto.
E3.
Martedì 20/4/2010, 11-13. ore:
2(6)
Esercitazione Metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel.
18.
Lunedì 26/4/2010, 11-13. ore:
2(30)
Il problema di Cauchy. Espressione integrale della soluzione. Lipchitzianità
locale e globale. Esistenza ed unicità della soluzione in piccolo e in
grande. Esempi. Formule alle differenze finite. Le formule di Eulero-Cauchy,
esplicita ed implicita, e del punto medio. Formule esplicite ed implicite,
monostep e multistep.
19.
Martedì 27/4/2010, 15-16. ore:
1(31)
Formule di Crank-Nicolson, di Heun e formula di Eulero modificata. Numero
degli stadi di una formula. Espressione generale delle formule di
Runge-Kutta. Errore globale di discretizzazione. Errore locale ed errore di
propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità. Ordine di una formula
alle differenze finite.
E4.
Giovedì 29/4/2010, 11-13. ore:
2(8)
Esercitazione Errore locale di discretizzazione. Ordine di una formula alle differenze
finite. Verifica della consistenza e dell'ordine per le formule di Eulero, di
Heun e per la formula di Eulero modificata. Esercizi sulle formule alle
differenze finite.
E5.
Lunedì 3/5/2010, 11-13. ore:
2(10)
Esercitazione Esercizi di riepilogo.
Totale ore: 31 (lezione),
10 (esercitazione)
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it