PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA
IN INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO
A.A. 2008/2009 -
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
- Richiami di Algebra Lineare.
Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme
vettoriali. Successioni convergenti e successioni di Cauchy. Spazi di
Hilbert: prodotti scalari, norme indotte e ortogonalità. Calcolo matriciale.
Determinante e matrice inversa. Autovalori e autovettori. Molteplicità
algebrica e geometrica. Quoziente di Rayleigh. Matrici dotate di struttura
particolare. Norme matriciali e loro proprietà. Principali norme matriciali
naturali. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali. Problemi ben
posti. Condizionamento di un problema.
- Analisi degli errori e codifica degli algoritmi.
Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Stabilità, complessità
computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo. Origine degli
errori. Errore assoluto e relativo. Rappresentazione in virgola mobile
normalizzata. Insieme dei numeri di macchina. Memorizzazione di un numero
reale: troncamento ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di
macchina. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina.
Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche e loro condizionamento.
Cancellazione.
- Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari.
Condizionamento di un sistema lineare. Sistemi diagonali ed ortogonali.
Risoluzione di sistemi lineari triangolari. Algoritmo di triangolarizzazione
di Gauss. Fattorizzazione . Pivoting parziale e totale. Matrici di
permutazione e fattorizzazione . Calcolo del determinante e
dell'inversa di una matrice. Propagazione degli errori di arrotondamento e
crescita del numero di condizionamento nell'algoritmo di Gauss.
Fattorizzazione di Cholesky. Risoluzione di un sistema lineare mediante la
fattorizzazione . Matrici elementari di Householder. Fattorizzazione
di Householder. Fattorizzazione di una matrice rettangolare. Sistemi
lineari sovradeterminati e sottodeterminati. Risoluzione nel senso dei minimi
quadrati di sistemi lineari sovradeterminati. Sistema normale e matrice
pseudo inversa. Tecniche risolutive basate sulla fattorizzazione di Cholesky
e sulla fattorizzazione .
- Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.
Metodi iterativi lineari stazionari del prim'ordine. Convergenza e
consistenza. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. I
metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizione sufficiente per la convergenza
dei due metodi. Criteri di stop. Precondizionamento. Fattorizzazione LU
incompleta. Metodi di Richardson. Il metodo del gradiente. Il metodo del
gradiente coniugato.
- Autovalori e autovettori.
Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Fattorizzazione spettrale. Forma
canonica di Schur. Localizzazione degli autovalori. Condizionamento del
problema degli autovalori. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse con
normalizzazione. L'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori. Matrici di
Hessenberg.
- Radici di equazioni non lineari.
Ordine di convergenza di un metodo iterativo. Caratterizzazione delle radici
multiple. Condizionamento di una radice semplice e di una doppia. Calcolo
degli zeri di un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo
di bisezione. Il metodo di Newton. Rapporto tra ordine di convergenza e
molteplicità delle radici. Metodi quasi-Newton: corde e secanti.
Iterazioni di punto fisso. Contrattività. Condizioni per la convergenza.
Condizione affinché un metodo sia del second'ordine.
- Approssimazione di funzioni.
Formulazione generale del problema dell'interpolazione. Unisolvenza.
Enunciati dei teoremi di Taylor e di Weierstrass. Interpolazione polinomiale.
Esistenza ed unicità. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange.
Errore di interpolazione. Influenza del posizionamento dei nodi. Nodi di
Chebychev. Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati: il caso
discreto. Risoluzione del corrispondente sistema lineare sovradeterminato.
- Equazioni differenziali ordinarie.
Formulazione del problema di Cauchy. Lipschitzianità globale e locale.
Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Metodi alle
differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep.
Costruzione di alcune formule alle differenze finite. Errore globale ed errore
locale di discretizzazione. Convergenza e stabilità. Consistenza ed ordine.
Metodi di Runge-Kutta espliciti. Verifica dell'ordine di convergenza per i
metodi di Eulero-Cauchy, Eulero modificato e Heun mediante sviluppo in serie di
Taylor dell'errore locale di discretizzazione. Relazione tra numero degli
stadi e massimo ordine raggiungibile. Condizione sul passo di integrazione che
assicura la contrattività della funzione di iterazione associata ad un metodo
implicito. Formule predictor-corrector.
- Laboratorio.
Introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Numeri complessi. Generazione
di vettori e matrici. Operatori e funzioni vettoriali e matriciali. Operatori
e funzioni che agiscono componente per componente. L'operatore di divisione
matriciale. Programmazione mediante scripts e functions. Cicli. Matrici
sparse. Istruzioni grafiche elementari per grafici 2D e 3D. Uso di alcune
funzioni di libreria. Esempi e simulazioni numeriche relative agli argomenti
trattati durante il corso.
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- 1
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G. Rodriguez.
Algoritmi Numerici.
Pitagora Editrice, Bologna, 2008.
- 2
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A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 2000.
Seconda edizione.
- 3
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V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it