PROGRAMMA DEL CORSO DI CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA IN CHIMICA - A.A. 1996/97
DOCENTE: GIUSEPPE RODRIGUEZ

1.

Analisi degli errori. Errore assoluto e relativo. Numeri di macchina. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Overflow, underflow, arrotondamento. Precisione di macchina. Operazioni di macchina. Errore relativo nelle 4 operazioni. Cancellazione e smearing. Stabilità.

2.

Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari reali, indipendenza lineare, basi e dimensione. Spazi normati, distanza ed equivalenza delle norme. Spazi di Hilbert, prodotti interni e norme indotte. Ortogonalità. Trasformazioni lineari e matrici. Operazioni su matrici. Determinanti. Matrici con struttura particolare. Autovalori ed autovettori. Principali norme vettoriali. Norme matriciali indotte. Sistemi lineari.

3.

Sistemi lineari. Sistemi triangolari. Algoritmo di Gauss con pivoting. Fattorizzazione LU mediante l'algoritmo di Gauss. Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice. Condizionamento di un sistema lineare. Fattorizzazione di Cholesky. Matrici elementari di Householder. Fattorizzazione QR col metodo di Householder.

4.

Equazioni non lineari. Condizionamento del problema. Il metodo di bisezione. Il metodo di Newton. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Ordine di convergenza e costante asintotica dell'errore. Metodi quasi-Newton: corde e secanti. Criteri di stop. Iterazioni di punto fisso. Funzioni contrattive. Condizione sufficiente per la convergenza e condizione necessaria e sufficiente per la convergenza quadratica. Comportamento del metodo di Newton in presenza di radici multiple. Il metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari.

5.

Interpolazione. Formulazione generale del problema. Condizione di unisolvenza. Esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Valutazione dell'errore di interpolazione. Condizioni per la convergenza a zero dell'errore. I nodi di Chebychev. Formula di Neville. Polinomio interpolante nella forma di Newton. Differenze divise.

6.

Minimi Quadrati. Sistemi lineari sovradeterminati, sottodeterminati e singolari. Equazioni normali. Risoluzione mediante l'algoritmo di Cholesky e la fattorizzazione QR di Householder. Matrice pseudo-inversa. Migliore approssimazione polinomiale nel senso dei minimi quadrati.

7.

Integrazione numerica. Formule di quadratura. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes aperte e chiuse. Formule elementari e composte. Formule dei trapezi, del punto medio e di Simpson. Integrali con singolarità. Polinomi ortogonali. Formula ricorsiva a tre termini. I polinomi di Legendre e di Chebychev. Formule di integrazione Gaussiane. Errori nelle formule di quadratura interpolatorie. Il caso particolare della formula dei trapezi elementare e composta.

8.

Equazioni differenziali ordinarie. Espressione generale del problema di Cauchy in forma vettoriale. Soluzioni locali e globali. Lipschitzianità. Esistenza ed unicità di una soluzione locale. Equazioni differenziali di ordine p. Metodi alle differenze finite. Costruzione di alcune formule mediante l'approssimazione della derivata con un rapporto incrementale. Metodi monostep e multistep. Metodi espliciti ed impliciti. Costruzione di alcune formule mediante trasformazione del problema di Cauchy in un problema di integrazione e successiva quadratura numerica. I metodi di Runge-Kutta. Costruzione delle formule del second'ordine esplicite. Espressione di una particolare formula di ordine 3 e di una di ordine 4. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Consistenza. Ordine di convergenza. Errore di propagazione. Stabilità. Analisi del metodo di Eulero: calcolo dell'errore globale di discretizzazione e dell'errore di arrotondamento. Metodi impliciti: condizione sul passo di integrazione che garantisce la contrattività. Metodi predictor-corrector.

9.

Calcolo di autovalori. Equazione caratteristica. Matrice compagna associata ad un polinomio monico. Relazione di similitudine tra matrici. Il metodo delle potenze per il calcolo dell'autovalore principale di una matrice. Il metodo delle potenze inverse. Il metodo QR per il calcolo di tutti gli autovalori di una matrice.

Riferimenti bibliografici

1

A. Quarteroni. Elementi di Calcolo Numerico. Progetto Leonardo, Ed. Esculapio, Bologna, 1995.

2

V. Comincioli. Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni. McGraw-Hill, Milano, 1990.