PROGRAMMA DEL CORSO DI
MATEMATICA COMPUTAZIONALE II
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - A.A. 1998/99
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

1.

Interpolazione. Enunciati dei teoremi di Weierstrass e Taylor. Unisolvenza, sistemi di Chebychev. Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Interpolazione di Hermite. Errore di interpolazione. Influenza del posizionamento dei nodi. Relazione tra l'errore di interpolazione e l'errore della migliore approssimazione uniforme. Le funzioni e le costanti di Lebesgue. Risultati sulla convergenza. Nodi di Chebychev. Formula di Neville. Polinomio interpolante nella forma di Newton. Differenze divise. Espressione dell'errore di interpolazione mediante le differenze divise. Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni spline. Rappresentazione locale e globale di una spline (PP-form e B-form). Cenni sulle B-splines e le loro proprietà. Spline lineare interpolante. Costruzione della spline cubica interpolante.

2.

Integrazione numerica. Formule di quadratura, pesi e nodi. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie di Newton-Cotes aperte e chiuse. Le formule dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson. Formule composte. Precisione algebrica delle formule di Newton-Cotes con un numero dispari di nodi. Funzioni peso. Formule di quadratura pesate per l'integrazione di funzioni dotate di singolarità. Integrali su intervalli illimitati. Errore nell'integrazione. Il teorema di Peano. Espressione dell'errore nel caso in cui il nucleo di Peano non cambi segno. Calcolo dell'errore per le formule elementari e composte dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson. Polinomi ortogonali. Formula ricorsiva a tre termini. Proprietà degli zeri. Costruzione di una formula di quadratura Gaussiana. Ordine di convergenza ottimale. Polinomi di Legendre, di Chebychev, di Laguerre e di Hermite. Errore nelle formule Gaussiane. Tecniche di quadratura adattive.

3.

Equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente. Lipschitzianità. Equazioni differenziali di ordine p>1. Metodi alle differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Consistenza ed ordine. Convergenza e stabilità. Metodi di Runge-Kutta espliciti. Costruzione dei metodi di Runge-Kutta a 1 e 2 stadi. Metodi impliciti. Condizione sul passo di integrazione che assicura la contrattività della funzione di iterazione associata ad un metodo implicito. Metodi predictor-corrector. Metodi di Runge-Kutta impliciti. Analisi dell'errore globale di discretizzazione e dell'errore di arrotondamento per il metodo di Eulero. Stima adattiva del passo di integrazione (metodi di Runge-Kutta-Fehlberg). Metodi multistep. I metodi di Adams, di Nystrom e di Milne. Errore locale di discretizzazione per un metodo multistep. Condizione necessaria e sufficiente affinché un metodo multistep sia consistente e di ordine p. Stabilità di una equazione alle differenze lineare. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Cenni sui problemi stiff.

4.

Laboratorio: introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Generazione di vettori e matrici. Operatori vettoriali e matriciali. Istruzioni grafiche elementari. L'operatore di divisione matriciale. Scripts. Accesso a sottoarrays mediante sub-indexing. Dichiarazione di funzioni e passaggio dei parametri. Variabili globali e variabili locali.

Testi consigliati

1

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici.
Zanichelli, Bologna, 1992.

2

V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.

3

A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 1998.

4

J. Stoer.
Introduzione all'Analisi Numerica vol. 1.
Zanichelli, Bologna, 1979.

5

J. Stoer and R. Bulirsch.
Introduzione all'Analisi Numerica vol. 2.
Zanichelli, Bologna, 1979.