Registro delle lezioni di
Matematica Computazionale I
Corso di laurea in Matematica
A.A. 2000/2001

docenti: prof. Giuseppe Rodriguez, dott. Carmine Di Fiore

ultimo aggiornamento: 10. gennaio 2001

1.          Lunedì 2/10/2000, 14.30-15.30.         ore: 1(1)

Introduzione al corso. Argomenti studiati dall'Analisi Numerica. Problemi ben posti. Cenni sulla presenza degli errori di arrotondamento. Complessità computazionale e stabilità di un'algoritmo. Definizione operativa di problema ``risolubile''. Fattori tecnologici che influenzano lo sviluppo dell'Analisi Numerica.

2.          Martedì 3/10/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(3)

Algoritmi. Definizione. Codifica mediante diagrammi di flusso e mappe strutturali. Istruzioni di controllo di flusso. Sottoprogrammi e funzioni. Algoritmi strutturati. Esempi. Passaggio da un problema applicativo al calcolo dei risultati numerici e la loro interpretazione. Calcolo di un integrale mediante la formula dei rettangoli: analisi del problema, scrittura dell'algoritmo e sperimentazione numerica. Sistemi di numerazione posizionali. Origine degli errori. Misura degli errori: errore assoluto e relativo.

3.          Martedì 10/10/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(5)

Memorizzazione dei numeri di macchina: virgola fissa e virgola mobile. Definizione dell'insieme dei numeri di macchina e loro rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Importanza della normalizzazione. Cardinalità dell'insieme dei numeri di macchina. Intervalli di underflow e di overflow. Memorizzazione di un numero reale non di macchina. Underflow: flush to zero e gradual underflow. Numeri sottonormali. Overflow, inf e NaN. Esempio: calcolo della lunghezza di un vettore in modo da evitare underflow e overflow. Troncamento ed arrotondamento: calcolo dell'errore assoluto e relativo, proprietà statistiche dell'errore. Arrotondamento unitario e rappresentazione di un numero in virgola mobile come perturbazione di un numero reale. Precisione di macchina: definizione ed algoritmo per il suo calcolo. Lo standard IEEE 754 per la memorizzazione di numeri in virgola mobile. Singola e doppia precisione. Configurazioni speciali: zero, inf, NaN e numeri sottonormali.

4.          Mercoledì 11/10/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(6)

Operazioni di macchina: ipotesi fondamentale e sue conseguenze. Analisi in avanti e analisi all'indietro dell'errore. Stabilità di un algoritmo. Cancellazione e smearing. Analisi di perturbazione per le operazioni di somma algebrica, prodotto e divisione di due numeri. Numero di condizionamento delle operazioni aritmetiche. Amplificazione dell'errore relativo causata dalla cancellazione. Esempi.

5.          Martedì 17/10/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(8)

(Dott. Di Fiore) Radici di equazioni non lineari $f(x)=0$. Equivalenza tra $f(x)=0$ e $x=\varphi(x)$. Condizioni per la convergenza di un metodo iterativo $x_{k+1}=\varphi(x_k)$. Esempi. Ordine $p\in\mathbb{Z}^+$ di un metodo iterativo per $\alpha$ t.c. $\alpha=\varphi(\alpha)$. Ordine $p>1,\ p\in\mathbb{R}$, di un generico algoritmo per il calcolo di $\alpha$ t.c. $f(\alpha)=0$: ordine di convergenza di una successione.

6.          Mercoledì 18/10/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(9)

(Dott. Di Fiore) I metodi delle corde, di Newton e di Halley. Un metodo di ordine tre che non richiede il calcolo di $f''$. Newton per radici multiple.

7.          Martedì 24/10/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(11)

(Dott. Di Fiore) Il metodo della secante è di ordine $(1+\sqrt 5)/2$. Metodi di ordine $p>1$ per radici multiple. Il metodo di Newton modificato.

8.          Mercoledì 25/10/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(12)

Alcuni esempi relativi alla cancellazione. Analisi all'indietro: calcolo di una sommatoria. Maggiorazione approssimata e rigorosa degli errori all'indietro. Unità di arrotondamento corretta. Stabilità all'indietro e suo rapporto col condizionamento del problema. Vantaggi derivanti da un corretto ordinamento dei numeri da sommare e dalla distribuzione statistica degli errori.

9.          Martedì 31/10/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(14)

(Dott. Di Fiore) Sistemi non lineari $F(\mathbf{x})=\mathbf{0}$. Modelli $M_k$ di $F$ in $\mathbf{x}_k$ e zeri di $M_k$ come successive approssimazioni degli zeri di $F(\mathbf{x})$. I metodi di Newton e di Broyden: teoremi di convergenza (enunciati), interpretazione come algoritmi di minimizzazione e metodi di Newton e Broyden modificati.

10.          Martedì 7/11/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(16)

Illustrazione di un esempio riguardante la propagazione degli errori nelle formule ricorsive. Problemi diretti, inversi e di identificazione. Alcuni esempi di problemi mal posti. Numero di condizionamento assoluto e relativo. Condizionamento di un sistema lineare. Esempi di cattivo condizionamento. Consistenza e convergenza di un metodo numerico. Interpolazione. Motivazione e formulazione generale. Determinante di Haar, unisolvenza, sistemi di Chebychev. Giustificazione dell'interpolazione polinomiale: enunciati dei teoremi di Weierstrass e di Taylor.

11.          Martedì 7/11/2000, 16.30-17.30.         ore: 1(17)

Laboratorio. Introduzione a Matlab. Operazioni aritmetiche. Variabili. Scrittura di uno script. Cicli for. Creazione di matrici e vettori mediante funzioni. Prodotto matriciale. Cenni sul sub-scripting.

12.          Martedì 14/11/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(19)

Interpolazione polinomiale. Dimostrazione di esistenza e unicità del polinomio interpolante mediante la riduzione del problema alla soluzione di un sistema lineare di Vandermonde. Svantaggi numerici di questo approccio. Instabilità della rappresentazione canonica di un polinomio. Forma di Lagrange per il polinomio interpolante. Polinomi caratteristici di Lagrange. Algoritmo per il calcolo del polinomio in un punto e sua complessità. Aggiunta di un nodo di interpolazione. Interpolazione di Hermite. Esempi. Espressione dell'errore di interpolazione. Influenza sull'errore della funzione da interpolare e del posizionamento dei nodi.

13.          Martedì 14/11/2000, 16.30-17.30.         ore: 1(20)

Laboratorio. Definizione intensiva ed estensiva di vettori e matrici. Dot-operators. Grafico di funzioni di una sola variabile. Modifica dello stile dei grafici. Rappresentazione contemporanea di più funzioni. Inf e NaN. Operatore di divisione matriciale. Risoluzione di un sistema lineare. Esempi sul condizionamento.

14.          Mercoledì 15/11/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(21)

(Dott. Di Fiore) Minimizzazione di funzioni $h(\mathbf{x})$. I metodi di Newton e di Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno (BFGS).

15.          Martedì 21/11/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(23)

Relazione tra l'errore di interpolazione e l'errore della migliore approssimazione uniforme. Le costanti e le funzioni di Lebesgue. Crescita minima delle costanti di Lebesgue. Alcuni risultati sulla convergenza dell'errore di interpolazione. Disposizione ottimale dei nodi: i polinomi di Chebychev. Rappresentazioni trigonometrica e ricorsiva, ortogonalità, zeri. Crescita delle costanti di Lebesgue per i nodi di Chebychev e per i nodi equispaziati. Condizionamento del polinomio interpolante rispetto ad una perturbazione delle ordinate di interpolazione. Formula di Neville per la valutazione del polinomio interpolante.

16.          Martedì 21/11/2000, 16.30-17.30.         ore: 1(24)

Laboratorio. Instruzioni per il controllo del flusso: i cicli for e while, l'istruzione if. Operatori logici. Esempio: calcolo dell'epsilon di macchina. Creazione di una function. Parametri di input e di output. Variabili locali e variabili globali. Vantaggi derivanti dall'uso di una function.

17.          Mercoledì 22/11/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(25)

(Dott. Di Fiore) Esempi di successioni con ordini di convergenza sublineare, lineare e superlineare generati da metodi per il calcolo degli zeri di $F(\mathbf{x})$. L'acceleratore di Aitken.

18.          Martedì 28/11/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(27)

Implementazione ottimizzata della formula di Neville. Forma di Newton del polinomio interpolante. Differenze divise e loro principali proprietà. Schema per il calcolo delle differenze divise. Aggiunta di un nodo di interpolazione. Algoritmo di Horner per la valutazione del polinomio interpolante. Ordinamento dei nodi che aumenta la stabilità dell'algoritmo e sua implementazione sulla tabella delle differenze divise. Rappresentazione dell'errore di interpolazione mediante le differenze divise.

19.          Martedì 28/11/2000, 16.30-17.30.         ore: 1(28)

Laboratorio. Memorizzazione e calcolo di polinomi. Rappresentazione di funzioni esplicite di due variabili come superfici: le istruzioni meshgrid, mesh, surf e surfl. Manipolazione della colormap: le istruzioni colorbar e colormap. Cenni sulla rappresentazione di superfici in forma parametrica.

20.          Mercoledì 22/11/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(29)

Integrazione numerica. Formule di quadratura. Nodi e pesi. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes. Formule aperte e chiuse. Calcolo dei pesi per le formule elementari dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson.

21.          Lunedì 4/12/2000, 9.30-11.30.         ore: 2(31)

Formule di quadratura composte: le formule dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson. Le formule di Newton-Cotes con $n$ pari hanno precisione algebrica $n+1$. Funzioni peso ed integrali pesati. Calcolo di integrali di funzioni che presentano singolarità al finito mediante formule di quadratura pesate. Calcolo di integrali su intervalli illimitati. Integrazione di funzioni rapidamente oscillanti. Errore di integrazione. Il teorema di Peano. Corollario valido per formule di quadratura il cui nucleo di Peano non cambi segno. Calcolo del resto per le formule elementari dei trapezi e dei rettangoli.

22.          Martedì 5/12/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(33)

Calcolo del resto per la formula elementare di Simpson. Calcolo dell'errore per le formule composte. Formule a precisione ottimale. Funzioni peso. Polinomi ortogonali rispetto ad un prodotto scalare pesato. Formula ricorsiva a tre termini. Espressione dei coefficienti della ricorsione. Alcune proprietà dei polinomi ortogonali. Condizione di unisolvenza. Costruzione di una formula di quadratura Gaussiana. Determinazione dei pesi. Polinomi ortogonali di Chebychev, Laguerre ed Hermite. Polinomi di Jacobi.

23.          Mercoledì 6/12/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(34)

Una formula di quadratura Gaussiana è l'unica formula di quadratura su $n+1$ punti con precisione algebrica $2n+1$ e questa precisione è ottimale. Polinomi ortogonali di Legendre. Calcolo degli zeri di un polinomio ortogonale come autovalori della matrice tridiagonale simmetrica costruita con i coefficienti di ricorsione del polinomio.

24.          Mercoledì 13/12/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(35)

Autovalori di matrici tridiagonali simmetriche di Toeplitz. Polinomi di Chebychev di II specie. Errore nelle formule di quadratura Gaussiane. Equazioni differenziali ordinarie (ODE). Formulazione generale del problema di Cauchy. Equazione integrale equivalente. Funzioni Lipschitziane. Esistenza ed unicità di una soluzione locale del problema di Cauchy.

25.          Martedì 19/12/2000, 14.30-16.30.         ore: 2(37)

Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Problema di Cauchy come determinazione di una curva integrale in un campo vettoriale. Metodi alle differenze finite. Approssimazione mediante rapporto incrementale: le formule di Eulero-Cauchy, di Eulero implicita e del punto medio. Formule monostep e multistep. Formule esplicite e implicite. Approssimazione mediante quadratura numerica: le formule di Crank-Nicholson e di Simpson. Le formule di Heun e di Eulero modificata. Esempi di implementazione. Errori. Problema locale. Errore globale di discretizzazione. Errore locale di discretizzazione ed errore di propagazione. Consistenza e ordine. Convergenza e stabilità.

26.          Mercoledì 20/12/2000, 10.30-11.30.         ore: 1(38)

I metodi monostep sono stabili. Metodi Runge-Kutta. Formulazione generale dei metodi Runge-Kutta espliciti (ERK). Tableau del metodo. Metodi a 1 e 2 stadi. Le formule di Eulero modificata e di Heun hanno ordine 2. Risultati per formule con numero di stadi superiore a 2.

27.          Martedì 9/1/2001, 14.30-16.30.         ore: 2(40)

Due particolari formule di Runge-Kutta di ordine 3 e 4. Cenni sull'implementazione dei metodi Runge-Kutta. Metodi impliciti. Iterazioni di punto fisso. Metodi predictor-corrector. Metodi di Runge-Kutta impliciti. Formule di Gauss-Legendre. Analisi degli errori di discretizzazione e di arrotondamento per il metodo di Eulero. Generalizzazione dei risultati a tutti i metodi monostep. Stima adattiva del passo di integrazione. Metodo di Runge-Kutta-Fehlberg.

28.          Mercoledì 10/1/2001, 10.30-12.30.         ore: 2(42)

Metodi multistep. Costruzione di una classe di metodi multistep. Le formule di Adams-Bashfort e di Adams-Moulton. Le formule di Nystrom e di Milne. Errore locale di discretizzazione per un metodo multistep generale. Consistenza e ordine. Condizione necessaria e sufficiente affinché un metodo multistep sia consistente e di ordine $p$ (enunciato). Equazioni alle differenze lineari. Stabilità di una equazione alle differenze. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist (enunciato). Applicazione ai metodi monostep e ai metodi di Adams, Nystrom e Milne. Costruzione di metodi multistep di ordine ottimale.

Totale ore: 42