PROGRAMMA DEL CORSO DI
MATEMATICA COMPUTAZIONALE I
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - A.A. 1999/2000
DOCENTI: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ, PROF. STEFANO FANELLI

1.

Analisi degli errori e codifica degli algoritmi. Stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo. Origine degli errori. Errore assoluto e relativo. Insieme dei numeri di macchina. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Memorizzazione di un numero reale: troncamento ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di macchina. Lo standard IEEE 754 per la memorizzazione di numeri in virgola mobile. Variabili in singola e doppia precisione. Numeri sottonormali. Operazioni di macchina. Cancellazione. Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche. Condizionamento per l'operazione di somma. Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Istruzioni di controllo di flusso. Sottoprogrammi e funzioni. Algoritmi strutturati.

2.

Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme vettoriali. Spazi di Hilbert. Ortogonalità. Calcolo matriciale. Matrici dotate di struttura particolare. Fattorizzazione spettrale. Matrici simili. Norme matriciali e loro proprietà. Principali norme matriciali indotte. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali. I teoremi di Gershgorin e alcune loro applicazioni. Problemi diretti, inversi e di identificazione. Problemi ben posti. Condizionamento di un problema. Consistenza e convergenza di un metodo numerico.

3.

Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari. Condizionamento di un sistema lineare e sua influenza sulla propagazione degli errori. Risoluzione di sistemi lineari triangolari. Algoritmo di triangolarizzazione di Gauss. Matrici elementari di Gauss. Fattorizzazione LU. Pivoting parziale e totale. Matrici di permutazione e fattorizzazione PA=LU. Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice. Crescita del numero di condizionamento nell'algoritmo di Gauss. Scaling. Fattorizzazioni LDU, LDL^T e LL^T. Risoluzione di un sistema lineare mediante la fattorizzazione QR. Confronto con l'algoritmo di Gauss. Fattorizzazione QR di Gram-Schmidt. Matrici elementari di Householder. Fattorizzazione QR di Householder. Fattorizzazione QR di una matrice rettangolare. Sistemi lineari sovradeterminati e sottodeterminati. Risoluzione nel senso dei minimi quadrati di sistemi lineari sovradeterminati. Equazioni normali. Matrice pseudo-inversa. Risoluzione mediante la fattorizzazione di Cholesky e la fattorizzazione QR.

4.

Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Condizioni necessarie o sufficienti per la convergenza di metodi iterativi fondati sul principio del punto fisso. Metodi iterativi stazionari. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. Errore teorico ed errore operativo di troncamento nei metodi iterativi stazionari. Legame fra errore teorico ed errore operativo di troncamento. Errore di propagazione nei metodi iterativi stazionari. Il metodo di Jacobi ed il metodo di Gauss-Seidel. Condizioni sufficienti per la loro convergenza. Metodi iterativi con matrici ben condizionate. Complessità computazionale dei metodi iterativi.

5.

Equazioni non lineari. Metodi empirici per il calcolo delle radici di equazioni non lineari. Il metodo della bisezione. Metodi iterativi e loro convergenza. Errore di troncamento e di propagazione nei metodi iterativi. Ordine di un metodo iterativo. Metodi iterativi di ordine 1. Metodi iterativi di ordine 2. Il metodo di Newton. Convergenza del metodo di Newton. Caso delle radici multiple. L'acceleratore di Aitken. Metodi iterativi di ordine 3. Il metodo di Halley e di Halley modificato. Metodi iterativi senza uso di derivate. Il metodo della falsa posizione. Metodi iterativi di ordine non intero. Il metodo della secante. Convergenza del metodo della secante.

6.

Laboratorio: introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Generazione di vettori e matrici. Operatori e funzioni vettoriali e matriciali. Operatori e funzioni che agiscono componente per componente. L'operatore di divisione matriciale. Fattorizzazioni matriciali. Calcolo di autovalori ed autovettori. Cicli. Programmazione mediante scripts. Accesso a sottoarrays mediante sub-indexing. Istruzioni grafiche elementari. Grafico di una funzione esplicita e di una curva parametrica. Grafico di una funzione di due variabili. Controllo del colore e dell'ombreggiatura. Visualizzazione di immagini. Introduzione all'uso dei servizi di Internet.

Testi consigliati

1

D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici per l'Algebra Linare.
Zanichelli, Bologna, 1988.

2

A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 1998.

3

G. Monegato.
Fondamenti di Calcolo Numerico.
CLUT, Torino, 1998.

4

V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.

Testi di consultazione

1

G.H. Golub and C.F. Van Loan.
Matrix Computations.
The John Hopkins University Press, Baltimore, third edition, 1996.

2

J. Stoer and R. Bulirsch.
Introduction to Numerical Analysis, volume 12 of Texts in Applied Mathematics.
Springer-Verlag, New York, second edition, 1991.

3

Å. Björck.
Numerical Methods for Least Squares Problems.
SIAM, Philadelphia, 1996.