PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA IN CHIMICA - A.A. 2000/2001
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

1. Analisi degli errori e codifica degli algoritmi. Problemi ben posti. Condizionamento di un problema. Valutazione di un algoritmo in termini di stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria. Errore assoluto e relativo. Numeri di macchina. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Overflow, underflow, arrotondamento. Precisione di macchina. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina. Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche. Cancellazione. Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali.

2. Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme vettoriali. Spazi di Hilbert. Calcolo matriciale. Matrici dotate di struttura particolare. Matrici ortogonali. Autovalori ed autovettori. Il polinomio caratteristico. Matrici simili. Norme matriciali e loro proprietà. Principali norme matriciali indotte. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali. I teoremi di Gershgorin.

3. Sistemi lineari. Condizionamento di un sistema lineare. Stima del numero di condizionamento mediante i teoremi di Gershgorin. Sistemi caratterizzati da matrici aventi forma particolare. Richiami sull'algoritmo di Gauss con pivoting di colonna. Fattorizzazione $LU$ mediante l'algoritmo di Gauss. Matrici di permutazione e fattorizzazione $PA=LU$. Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice. La fattorizzazione $QR$ per la risoluzione di un sistema lineare. Confronto con la fattorizzazione $LU$. Sistemi sovradeterminati e sottodeterminati. Risoluzione nel senso dei minimi quadrati di sistemi lineari sovradeterminati. Metodi iterativi stazionari. Convergenza e consistenza. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi lineari. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizione sufficiente per la convergenza dei due metodi. Criteri di arresto.

4. Equazioni non lineari. Condizionamento del problema. Radici singole e multiple. Il metodo di bisezione. Analisi della convergenza. Ordine di convergenza e costante asintotica dell'errore. Il metodo di Newton. Convergenza del metodo di Newton e suo comportamento in presenza di radici multiple. Metodi quasi-Newton: i metodi delle corde e delle secanti. Criteri di arresto. Cenni sull'applicazione del metodo di Newton ad un sistema di due equazioni non lineari.

5. Interpolazione ed approssimazione. Formulazione generale del problema. Condizione di unisolvenza. Esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Valutazione dell'errore di interpolazione. Influenza del posizionamento dei nodi sull'errore di interpolazione. I nodi di Chebychev. Espressione dei polinomi di Chebychev e calcolo dei loro zeri. Formula di Neville per la valutazione del polinomio interpolante. Differenze divise. Polinomio interpolante nella forma di Newton. Migliore approssimazione polinomiale nel senso dei minimi quadrati.

6. Integrazione numerica. Formule di quadratura. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes aperte e chiuse. Formule elementari e composte. Formule dei trapezi, del punto medio e di Simpson. Errori nelle formule di quadratura interpolatorie. Il caso particolare della formula dei trapezi elementare e composta.

7. Equazioni differenziali ordinarie. Formulazione generale del problema di Cauchy. Lipschitzianità. Esistenza ed unicità di una soluzione locale. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Metodi alle differenze finite. Costruzione di alcune formule. Metodi monostep e multistep. Metodi espliciti ed impliciti. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Consistenza. Ordine di convergenza. Errore di propagazione. Stabilità. Verifica dell'ordine di convergenza delle formule di Eulero, di Heun e della formula di Eulero modificata.

Testi consigliati

1

A. Quarteroni.
Elementi di Calcolo Numerico.
Progetto Leonardo, Ed. Esculapio, Bologna, 1995.

2

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Introduzione alla Matematica Computazionale.
Zanichelli, Bologna, 1987.

3

G. Monegato.
Fondamenti di Calcolo Numerico.
CLUT, Torino, 1998.