PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI NUMERICA I
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - A.A. 2000/2001
DOCENTI: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ, DOTT. CARMINE DI FIORE

Corso monografico: Metodi Numerici per Problemi ai Minimi Quadrati

1. Problemi ai minimi quadrati: impostazione teorica e proprietà. Motivazioni e risultati preliminari. Cenni storici. Proprietà statistiche. Enunciato del teorema di Gauss-Markov. Formulazione del problema ai minimi quadrati (LSP) primale e duale. Caratterizzazione delle soluzioni di un LSP. Sistema delle equazioni normali. Unicità della soluzione di un LSP. LSP con rango non pieno. Soluzioni di minima norma. Equazioni normali del secondo tipo.

2. Metodi analitici fondamentali. Fattorizzazione di Cholesky. La decomposizione a valori singolari (SVD). Forma compatta. Sistema singolare di un operatore lineare. Sottospazi fondamentali associati ad una matrice. Decomposizione polare di una matrice. Teoremi di Weyl e di Courant-Fisher. Proprietà di stabilità. Analogie e differenze con la fattorizzazione spettrale. Matrice pseudoinversa. Condizioni di Penrose. Fattorizzazione QR. Forma compatta. Fattorizzazioni rank revealing. Rango numerico. Decomposizione ortogonale completa. Stabilità e condizionamento di un LSP.

3. Algoritmi numerici. Algoritmi per la formazione delle equazioni normali. Strategie di implementazione della fattorizzazione di Cholesky. Trasformazioni ortogonali elementari. Fattorizzazione QR mediante trasformazioni di Householder e di Givens. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt classico e modificato. Confronto dei vari algoritmi QR. Metodi basati sulla fattorizzazione LU. Calcolo della SVD. Riduzione di una matrice $A$ in forma bidiagonale superiore. Algoritmi di Golub-Reinsch e di Chan. Algoritmo QR di Francis per il calcolo degli autovalori di una matrice. Considerazioni computazionali sull'efficacia del metodo. Calcolo dei valori singolari. Approssimazione dei valori singolari mediante spectrum slicing. LSP mal condizionati o a rango non pieno. Decomposizione a valori singolari troncata (TSVD). Regolarizzazione alla Tikhonov. Determinazione dei parametri di regolarizzazione mediante la curva-L.

4. Metodi iterativi e precondizionamento. Risoluzione di un sistema lineare sovradimensionato mediante la minimizzazione di una forma quadratica definita positiva $f(\mathbf{x})$. Algoritmo di base per la minimizzazione di $f$. Il metodo del gradiente: risultati di convergenza e precondizionamento. Il metodo del gradiente coniugato (GC) come metodo diretto/iterativo. Risultati di convergenza e criteri di arresto. Precondizionamento di GC. Applicazioni nella risoluzione del sistema delle equazioni normali (precondizionatori circolanti) e nella integrazione numerica di un problema differenziale.

Testi consigliati

1

Å. Björck.
Numerical Methods for Least Squares Problems.
SIAM, Philadelphia, 1996.

2

D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Metodi Numerici per l'Algebra Lineare.
Zanichelli, Bologna, 1988.

Testi di consultazione

1

O. Axelsson and V. A. Barker.
Finite element solution of boundary value problems.
Academic Press Inc., Orlando, Fla., 1984.
Theory and computation.

2

G.H. Golub and C.F. Van Loan.
Matrix Computations.
The John Hopkins University Press, Baltimore, third edition, 1996.

3

G.W. Stewart.
Matrix Algorithms. Volume 1: Basic Decompositions.
SIAM, Philadelphia, 1998.

4

G.W. Stewart.
Matrix Algorithms. Volume 2: Eigensystems.
unpublished, 2000.