CALCOLO NUMERICO (elettrici, elettronici)
A.A. 1997/98

Prof. S. Seatzu e dott. G. Rodriguez

1.

ARITMETICA FINITA. Rappresentazione dei numeri in virgola mobile. Errori di arrotondamento e loro propagazione.

2.

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE. Trasformazioni lineari e matrici. Vettori linearmente indipendenti. Vettori ortogonali. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Autovalori e autovettori. Matrici simili. Diagonalizzazione di una matrice. Condizione necessaria e sufficiente. Forma canonica di Jordan. Triangolarizzazione di una matrice (T. di Schur). Polinomio caratteristico. Matrice compagna. Matrici ortogonali. Matrici hermitiane. Proprietà spettrali. Norme vettoriali. Norme p. Norme 1, 2, $\infty$. Continuità delle norme. Equivalenza delle norme. Norme matriciali indotte. Proprietà caratteristiche. Norme 1, 2, $\infty$. Raggio spettrale. Matrici convergenti. Condizione necessaria e sufficiente. Condizionamento di una matrice. Sistema singolare di una matrice. Fattorizzazione di una matrice mediante il sistema singolare.

3.

SISTEMI LINEARI. Il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting. Matrici di permutazione. Fattorizzazione LU con il metodo di Gauss. Equilibratura di una matrice. Il metodo di fattorizzazione di Cholesky. Matrici di Householder e di Givens. I metodi QR di Householder, Givens, Gram-Schmidt e Gram-Schmidt modificato. Numero di condizione e propagazione degli errori. Matrici irriducibili e diagonalmente dominanti. I metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizioni sufficienti per la convergenza. Accelerazione dei metodi iterativi. Minimi quadrati lineari. Risoluzione del problema mediante il metodo QR. Sistema singolare di una matrice. Valutazione del numero di condizione mediante i valori singolari. Risoluzione dei sistemi lineari e del problema dei minimi quadrati lineari mediante la decomoposizione a valori singolari.

4.

SISTEMI NON LINEARI. Matrice Jacobiana per una $F:{\mathbb{R}}^n\rightarrow{\mathbb{R}}^n$.Differenziabilità nel senso di Frechet. Funzione di iterazione. Punto di attrazione. Convergenza locale. Condizione sufficiente per la convergenza locale (T. di Ostrowski). Ordine di convergenza. Il metodo di Newton mono e multidimensionale. Funzioni contrattive. Condizioni sufficienti per la contrattività locale (T. di Banach). Convessità e convergenza globale.

5.

AUTOVALORI E AUTOVETTORI. Il metodo di localizzazione di Gershgorin. Il metodo di Sturm per la valutazione degli autovalori di una matrice tridiagonale Hermitiana. Trasformazione di una matrice hermitiana in una simile tridiagonale ed hermitiana. Matrici di Hessenberg. Trasformazione di una matrice in una simile di Hessenberg. Il metodo QR per il calcolo degli autovalori. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse. Valutazione di altri autovalori mediante deflazione. Valutazione a posteriori dell'errore nel calcolo degli autovalori di una matrice Hermitiana.

6.

INTERPOLAZIONE e APPROSSIMAZIONE. Interpolazione lagrangiana. Differenze divise e polinomio interpolante di Newton. Algoritmo di Neville. Valutazione dell'errore nell'interpolazione polinomiale. Approssimazione ottimale in norma uniforme. Funzione di Lebesgue. Interpolazione nei nodi di Chebychev. Funzioni splines. Interpolazione mediante le splines lineari e cubiche. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Polinomi ortogonali. Formula di ricorrenza a tre termini. Interpolazione trigonometrica. Approssimazione con polinomi trigonometrici nel senso dei minimi quadrati. Proprietà di convergenza uniforme e in norma 2. Interpolazione polinomiale e trigonometrica su griglie regolari bidimensionali. Approssimazione bidimensionale nel senso dei minimi quadrati.

7.

INTEGRAZIONE NUMERICA. Grado di precisione algebrica. Teorema di Peano. Formule interpolatorie di Newton-Cotes. Valutazione del resto. Polinomi ortogonali di Legendre. Formule gaussiane. Formule di integrazione con peso. Formule composte. Integrazione bidimensionale su griglie regolari.

8.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di Cauchy ai valori iniziali. Il metodo di Eulero-Cauchy e il metodo alle differenze centrali. Formulazione generale di un metodo alle differenze finite. Consistenza di un metodo. Condizioni sufficienti. Metodi monstep espliciti di Heun, Eulero modificato e Runge-Kutta del 4 ordine. Metodi monostep impliciti. Metodi multistep lineari. Metodi Predictor-Corrector. Errore locale di discretizzazione. Valutazione dell'ordine. Stabilità di un metodo. Convergenza. Valori di innesco in un metodo multistep. Ordine dell'errore globale di discretizzazione. Metodi monostep a passo variabile. Scelta ottimale del passo. Risoluzione del problema ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine. Discretizzazione del problema con metodi alle differenze finite. Risoluzione del problema discretizzato con metodi iterativi. Analisi dell'errore.

Riferimenti bibliografici

1

V. Comincioli. Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni. McGraw-Hill, Milano, 1993.

2

G. Gambolati. Metodi Numerici. Edizioni Libreria Cortina, Padova, 1994.

3

G. Monegato. Calcolo Numerico. Levrotto & Bella, Torino, 1991.

4

D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi. Metodi Numerici per l'Algebra Linare. Zanichelli, Bologna, 1988.