REGISTRO DELLE LEZIONI DI
METODI NUMERICI PER L'INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA - A.A. 2008/2009
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
TUTOR: PIETRO CONTU
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 17. maggio 2009

1.          Lunedì 2/3/2009, 11-13.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Problemi ben posti. Numero di condizionamento. Condizionamento del prodotto tra due numeri reali. Definizione di algoritmo.

2.          Giovedì 5/3/2009, 12-13.         ore: 1(3)

Esempi di algoritmi. Stabilità e complessità computazionale di un algoritmo.

3.          Giovedì 5/3/2009, 15-17.         ore: 2(5)

Occupazione di memoria di un algoritmo. Problemi risolubili. Richiami di Algebra Lineare. Spazi vettoriali. Sottospazi. Combinazioni lineari e indipendenza lineare. Basi e dimensione. Esempi di spazi vettoriali. Spazi normati. Esempi di norme vettoriali. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$.

4.          Lunedì 9/3/2009, 11-13.         ore: 2(7)

Norme funzionali con indice 2 e $\infty$. Successioni convergenti e successioni di Cauchy. Spazi completi. Norme equivalenti. Matrici. Aggiunta e trasposta. Operazioni su matrici. Prodotto matriciale e potenza di una matrice. Matrice inversa, determinante, rango e proprietà. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico.

5.          Giovedì 12/3/2009, 12-13.         ore: 1(8)

Successioni di Cauchy. Spazi completi. Alcune proprietà di trasposte e inverse. Spettro e raggio spettrale di una matrice. Matrici difettive. Proprietà degli autovalori.

E1.          Sabato 14/3/2009, 9-11.         ore: 2(2)

Esercitazione Algoritmi semplici, con calcolo della complessità computazionale. Esercizi su determinanti, autovalori e autovettori.

6.          Lunedì 16/3/2009, 11-13.         ore: 2(10)

Matrici di forma particolare e loro proprietà: Hermitiane, definite positive, unitarie, triangolari, diagonali, a banda, sparse. Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. Norma di Frobenius. Norme naturali. Calcolo della norma naturale con indice $\infty$.

7.          Giovedì 19/3/2009, 12-13.         ore: 1(11)

Norme matriciali con indice $\infty$, 1 e 2. Norma-2 per matrici simmetriche. Relazione tra raggio spettrale e norme matriciali. Sistemi di numerazione in base qualsiasi.

8.          Giovedì 19/3/2009, 15-17.         ore: 2(13)

Errori assoluti e relativi. Rappresentazione in virgola fissa e in virgola mobile. Segno, mantissa ed esponente di un numero. Insieme dei numeri di macchina. Condizione di normalizzazione. Funzione di memorizzazione. Underflow e overflow. Troncamento. Errore di troncamento.

E2.          Venerdì 20/3/2009, 18-20.         ore: 2(4)

Esercitazione Esercizi di algebra lineare.

9.          Lunedì 23/3/2009, 11-13.         ore: 2(15)

Arrotondamento. Errore di arrotondamento. Vantaggi rispetto al troncamento. Arrotondamento unitario. Epsilon di macchina. Standard IEEE 754. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina e aritmetica non aberrante. Esempi. Propagazione degli errori nel prodotto e rapporto di numeri reali. Condizionamento della somma algebrica. Cancellazione. Esempi.

E3.          Mercoledì 25/3/2009, 18-20.         ore: 2(6)

Esercitazione Esercizi sull'aritmetica di macchina.

10.          Giovedì 26/3/2009, 12-13.         ore: 1(16)

Generalità sui sistemi lineari. Condizionamento di un sistema in presenza di perturbazioni sul termine noto. Numero di condizionamento. Condizionamento nel caso generale.

11.          Giovedì 26/3/2009, 15-17.         ore: 2(18)

Proprietà del numero di condizionamento. Esempi. Risoluzione di sistemi con struttura particolare. Sistemi diagonali, ortogonali e triangolari inferiori: proprietà, algoritmi e complessità.

12.          Lunedì 30/3/2009, 11-13.         ore: 2(20)

Risoluzione di sistemi triangolari superiori. Il metodo di triangolarizzazione di Gauss. Analisi di un esempio numerico e studio dei primi due passi del metodo. Analisi del passo $k$ dell'algoritmo di Gauss.

E4.          Mercoledì 1/4/2009, 18-20.         ore: 2(8)

Esercitazione Esercizi su norme, condizionamento e metodo di Gauss.

13.          Giovedì 2/4/2009, 12-13.         ore: 1(21)

Descrizione della struttura dati utilizzata. Mappa strutturale dell'algoritmo di Gauss. Complessità ed ottimizzazione rispetto all'occupazione di memoria. Matrici a predominanza diagonale stretta. Breakdown dell'algoritmo.

14.          Giovedì 2/4/2009, 15-17.         ore: 2(23)

Pivoting parziale e totale. Giustificazione del pivoting sul piano della stabilità numerica. Implementazione del pivoting parziale. Teorema di Wilkinson. Crescita del condizionamento. Rilevazione della singolarità della matrice. Esempi. Fattorizzazione LU.

15.          Lunedì 6/4/2009, 11-13.         ore: 2(25)

Fattorizzazione LU e sua utilizzazione per la risoluzione di un sistema lineare. Calcolo del determinante e della matrice inversa. Matrici di scambio e di permutazione: definizione e proprietà. Fattorizzazione $PA=LU$ e suo uso per risolvere sistemi lineari e calcolare inverse e determinanti.

E5.          Mercoledì 8/4/2009, 18-20.         ore: 2(10)

Esercitazione Metodo di Gauss e fattorizzazione LU.

16.          Lunedì 20/4/2009, 11-13.         ore: 2(27)

Metodi iterativi per sistemi lineari. Vantaggi rispetto ai metodi diretti. Metodi iterativi del prim'ordine. Convergenza e consistenza. Metodi iterativi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizione necessaria e sufficiente per la consistenza. Condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo.

E6.          Mercoledì 22/4/2009, 18-20.         ore: 2(12)

Esercitazione Fattorizzazione $PA=LU$ e sue applicazioni.

17.          Giovedì 23/4/2009, 12-13.         ore: 1(28)

I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Formulazione matriciale e in componenti. Parallelizzabilità. Classi di matrici per cui i metodi convergono. Il metodo di Jacobi converge se applicato ad una matrice diagonalmente dominante in senso stretto. Criteri di arresto.

18.          Giovedì 23/4/2009, 15-17.         ore: 2(30)

Il problema di Cauchy. Espressione integrale della soluzione. Lipchitzianità locale e globale. Esistenza in piccolo e in grande della soluzione. Esempi. Formule alle differenze finite. Le formule di Eulero-Cauchy esplicita ed implicita, del punto medio, di Crank-Nicolson e di Heun. Formule esplicite ed implicite, monostep e multistep. Numero degli stadi di una formula.

19.          Lunedì 27/4/2009, 11-13.         ore: 2(32)

La formula di Eulero modificata. Espressione generale delle formule di Runge-Kutta. Errore globale di discretizzazione. Convergenza, consistenza e stabilità. Errore locale di discretizzazione. Ordine di una formula alle differenze finite. Verifica della consistenza e dell'ordine per le formule di Eulero, di Heun e per la formula di Eulero modificata.

E7.          Mercoledì 29/4/2009, 18-20.         ore: 2(14)

Esercitazione Fattorizzazione $PA=LU$. Metodi iterativi.

20.          Giovedì 30/4/2009, 12-13.         ore: 1(33)

Influenza degli errori di arrotondamento nelle formule monostep. Approssimazione di funzioni: motivazione e possibili approcci. Interpolazione. Approccio generale in un sottospazio generato da una famiglia di funzioni. Sistema lineare equivalente e determinante di Haar.

21.          Giovedì 30/4/2009, 15-17.         ore: 2(35)

I teoremi di Taylor e di Weierstrass. Interpolazione polinomiale mediante la base canonica. Matrici di Vandermonde. Instabilità di una rappresentazione. Polinomi caratteristici di Lagrange. Forma di Lagrange per il polinomio interpolante. Esempi. Errore di interpolazione.

22.          Lunedì 4/5/2009, 11-13.         ore: 2(37)

Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Influenza sull'errore della regolarità della funzione da interpolare e della distribuzione dei nodi. Alcuni risultati sulla convergenza dell'errore di interpolazione. Teorema di Bernstein. Ottimizzazione del posizionamento dei nodi. Nodi equispaziati e nodi di Chebychev. Migliore approssimazione rispetto alla norma uniforme e alla norma-2. Approssimazione polinomiale nel senso dei minimi quadrati rispetto ad una norma discreta. Problema algebrico equivalente.

E8.          Mercoledì 6/5/2009, 18-20.         ore: 2(16)

Esercitazione Metodi iterativi per sistemi lineari. Formule alle differenze finite.

23.          Giovedì 7/5/2009, 12-13.         ore: 1(38)

Sistema delle equazioni normali. Calcolo di integrali mediante formule di quadratura numerica. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura interpolatorie. Calcolo dei pesi.

24.          Giovedì 7/5/2009, 15-17.         ore: 2(40)

Formule di Newton-Cotes elementari aperte e chiuse. Formule composte. Le formule dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson, elementari e composte. Cenni sulla precisione algebrica per $n$ pari e sull'errore di integrazione.

E9.          Mercoledì 13/5/2009, 18-20.         ore: 2(18)

Esercitazione Interpolazione e minimi quadrati.

E10.          Mercoledì 16/5/2009, 18-20.         ore: 2(20)

Esercitazione Esercizi di riepilogo.

Totale ore: 40 (lezione), 20 (esercitazione)