REGISTRO DELLE LEZIONI DI
MATEMATICA APPLICATA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA, INFORMATICA E DELLE TELECOMUNICAZIONI
6
CFU - A.A. 2023/2024
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO:
23. dicembre 2023

1.          Martedì 3/10/2023, 15–17.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Applicazioni dell'analisi numerica. Problemi ben posti. Esempi di problemi mal posti.

2.          Mercoledì 4/10/2023, 15–17.         ore: 2(4)

Riepilogo problemi ben posti. Numero di condizionamento. Algoritmi: stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria. Spazi vettoriali. Esempi.

3.          Venerdì 6/10/2023, 11–14.         ore: 3(7)

Sottospazi. Esempi. Gli spazi $C[a,b]$ e $L^2[a,b]$. Lo spazio dei polinomi. Combinazioni lineari. Sottospazio generato da $k$ vettori. Indipendenza lineare. Basi e dimensione. Spazi a dimensione infinita. Esempi. Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$. Esempi. Principali norme utilizzate per le funzioni. Normalizzazione. Norme equivalenti. Convergenza di successioni di vettori.

4.          Martedì 10/10/2023, 15–17.         ore: 2(9)

Riepilogo spazi normati. Successioni di Cauchy. Spazi metrici e spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità. Prodotti scalari canonici di ${\mathbb{R}}^n$ e di $L^2[a,b]$. Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato (MGS).

5.          Mercoledì 11/10/2023, 15–17.         ore: 2(11)

Esercizi sul metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato. Cenni sull'importanza numerica del metodo e le sue applicazioni. Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Prodotto matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione del prodotto matriciale col prodotto scalare di ${\mathbb{R}}^n$ e con la norma-2. Esempi.

6.          Venerdì 13/10/2023, 11–13.         ore: 2(13)

Riepilogo calcolo matriciale. Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli autovalori. Cenni sul calcolo degli autovettori. Esercizi.

7.          Martedì 17/10/2023, 15–17.         ore: 2(15)

Esercizi di riepilogo. Introduzione alla serie di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale, frequenza. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari. Polinomi trigonometrici.

8.          Mercoledì 18/10/2023, 15–17.         ore: 2(17)

Riepilogo polinomi trigonometrici. Formule di Werner. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari e calcolo delle loro norme. Approssimazione di un vettore mediante proiezione su una base ortogonale. Coefficienti di Fourier. Migliore approssimazione di un segnale nel senso dell'energia (minimi quadrati).

9.          Venerdì 20/10/2023, 11–14.         ore: 3(20)

Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Serie di Fourier associata ad una funzione definita su un intervallo. Scelta del parametro $\omega$. Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni e commenti sulla convergenza. Funzioni pari e dispari. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esercizi.

10.          Martedì 24/10/2023, 15–17.         ore: 2(22)

Riepilogo serie di Fourier. Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di decadimento dei coefficienti di Fourier. Motivazione del calcolo di derivate e integrali di una serie di Fourier. Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo. Esempi.

11.          Mercoledì 25/10/2023, 15–17.         ore: 2(24)

Esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali mediante serie di Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e antitrasformata. Funzione di Heaviside. Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso esponenziale troncato pari.

12.          Venerdì 27/10/2023, 11–13.         ore: 2(26)

Trasformate elementari: impulso esponenziale troncato, pari e dispari. Applicazione della linearità. Onda quadra. Funzione ${\mathrm{sinc}}$. Delta di Dirac e sua trasformata. Esempi. Trasformata della Gaussiana. Proprietà della trasformata di Fourier. Linearità. Traslazione nello spazio ordinario. Traslazione nello spazio delle frequenze. Variazione di scala.

13.          Venerdì 3/11/2023, 11–14.         ore: 3(29)

Riepilogo trasformata di Fourier. Variazione di scala. Simmetria (trasformata di una trasformata). Modulazione. Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Esempi.

14.          Martedì 7/11/2023, 15–17.         ore: 2(31)

Convoluzione. Commutatività. La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate. Proprietà della delta di Dirac. Esercizi.

15.          Mercoledì 8/11/2023, 15–17.         ore: 2(33)

Proprietà della delta di Dirac. Risoluzione di un'equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esercizi di riepilogo sulla trasformata di Fourier.

16.          Venerdì 10/11/2023, 11–12.         ore: 1(34)

Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa.

E1.          Venerdì 10/11/2023, 12–14.         ore: 2(2)

Esercitazione Esercizi di riepilogo.

17.          Martedì 21/11/2023, 15–17.         ore: 2(36)

Matrici strutturate. Matrici Hermitiane, simmetriche, definite positive, e loro proprietà. Matrici ortogonali e unitarie. Proprietà e legame col processo di Gram-Schmidt. Risoluzione di sistemi ortogonali. Matrici triangolari, diagonali e loro proprietà. Matrici sparse e loro memorizzazione. Matrici tridiagonali e a banda. Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius.

18.          Mercoledì 22/11/2023, 15–17.         ore: 2(38)

Riepilogo norme matriciali. Norme naturali e proprietà. Espressione della norma naturale indotta dalla norme vettoriale con indice $\infty$, 1 e 2. Il caso delle matrici simmetriche. Esempi. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Norma della matrice identità. Generalità sui sistemi lineari. Rappresentazione matriciale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Condizionamento assoluto e relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti.

19.          Venerdì 24/11/2023, 11–13.         ore: 2(40)

Riepilogo condizionamento dei sistemi lineari. Esempi simbolici e numerici sul condizionamento. Proprietà del numero di condizionamento. Numero di condizionamento in norma-2 nel caso generale e per matrici simmetriche. Condizionamento di un sistema lineare nel caso generale. Esercizio sul calcolo del numero di condizionamento. Sistemi lineari diagonali e triangolari inferiori: algoritmo di risoluzione.

20.          Martedì 28/11/2023, 15–17.         ore: 2(42)

Sistemi triangolari e superiori: algoritmo di risoluzione, complessità, occupazione di memoria e condizionamento. Esercizi. Principi di equivalenza per i sistemi lineari. Triangolarizzazione di un sistema lineare. Applicazione dell'algoritmo di Gauss in forma tabellare. Esempi. Analisi del primo e del secondo passo dell'algoritmo di Gauss. Analisi del generico passo $k$ dell'algoritmo di Gauss. Breakdown dell'algoritmo in presenza di un pivot nullo.

21.          Mercoledì 29/11/2023, 15–17.         ore: 2(44)

Riepilogo del generico passo $k$ dell'algoritmo di Gauss. Breakdown dell'algoritmo in presenza di un pivot nullo. Algoritmo di Gauss. Complessità ed occupazione di memoria. Matrici diagonalmente dominanti. Fattorizzazione LU. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari e al calcolo del determinante e dell'inversa.

22.          Venerdì 1/12/2023, 11–14.         ore: 3(47)

Riepilogo fattorizzazione LU. Pivoting parziale: motivazione. Implementazione del pivoting parziale. Considerazioni sulla complessità computazionale. Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Rilevazione della singolarità della matrice dei coefficienti. Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione $PA=LU$. Applicazioni: soluzione di sistemi lineari, calcolo del determinante e della matrice inversa. Costruzione pratica della fattorizzazione $PA=LU$ mediante l'algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Pivoting totale. Esercizi.

23.          Martedì 5/12/2023, 15–17.         ore: 2(49)

Motivazione del pivoting: crescita del condizionamento e teorema di Wilkinson sulla stabilità dell'algoritmo di Gauss. Esercizi di riepilogo sulla fattorizzazione $PA=LU$. Introduzione ai metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari. Vantaggi rispetto ai metodi diretti. Cenni sulle matrici a banda o sparse. Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Metodi lineari, stazionari, del prim'ordine.

24.          Mercoledì 6/12/2023, 15–17.         ore: 2(51)

Condizione sul vettore di iterazione per la consistenza dei metodi iterativi. Espressione dell'errore al passo $k$ in funzione dell'errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Espressione matriciale dei due metodi. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni successive, numero massimo di iterazioni, residuo relativo. Espressione in componenti dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Cenni sulla parallelizzabilità dei due metodi. Teoremi di convergenza per matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti.

25.          Martedì 12/12/2023, 15–17.         ore: 2(53)

Esercizio di riepilogo sui metodi iterativi. Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy. Formulazione del problema ed interpretazione geometrica e fisica. Lipschitzianità e relazione con la continuità e con la derivabilità. Lipschitzianità globale e locale. Esistenza ed unicità della soluzione. Formule alle differenze finite.

26.          Mercoledì 13/12/2023, 15–17.         ore: 2(55)

Formule alle differenze finite. La formula di Eulero-Cauchy e la formula implicita di Eulero. Formule esplicite ed implicite. Formula del punto medio. Formule monostep e multistep. Difficoltà insite nell'uso delle formule implicite e di quelle multistep. Formula di Crank-Nicolson. Complessità e numero degli stadi. La formula di Heun e la formula di Eulero modificata. Esempi. Sistemi di equazioni differenziali e loro espressione in forma vettoriale.

27.          Venerdì 15/12/2023, 11–13.         ore: 2(57)

Riepilogo formule alla differenze finite. Formule a più stadi: i metodi di Runge-Kutta di ordine 3 e 4. Riepilogo sistemi. Applicazione della formula di Eulero al sistema risultante da un problema del second'ordine. Formule di Runge-Kutta. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. I metodi monostep sono stabili. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine. Formula per il calcolo della derivata totale. Verifica della consistenza e dell'ordine per la formula di Eulero.

28.          Martedì 19/12/2023, 15–17.         ore: 2(59)

Riepilogo errore formule monostep. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep mediante sviluppo in serie dell'errore locale di discretizzazione. Relazione tra numero di stadi e ordine massimo: la barriera di Butcher. Contributo degli errori di misura e dell'aritmetica di macchina all'errore totale. Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Verifica dell'ordine per alcune formule a due passi.

29.          Mercoledì 20/12/2023, 15–16.         ore: 1(60)

Definizione di zero-stabilità. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Esempi. Rapporto tra numero di passi e ordine di un metodo multistep (prima barriera di Dahlquist). Metodi predictor-corrector.

Totale ore: 60 (lezione), 2 (esercitazione)



Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it