SEMINARI AVANZATI DI MATEMATICA APPLICATA
ALGEBRA LINEARE NUMERICA
2 CFU - A.A. 2015/2016
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 15. luglio 2016

1.          Martedì 8/3/2016, 9-12.         ore: 3(3)

Introduzione al corso. Aritmetica di macchina. Memorizzazione di un numero reale. Standard IEEE 754. Condizionamento di un problema. Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche. Cancellazione. Esempi. Varie rappresentazioni del prodotto matriciale. Prodotto a blocchi. Calcolo matriciale su Matlab. Calcolo di proiezioni e di combinazioni lineari. Formulazione ``inner product'' del prodotto matriciale. Matrici ortogonali. Calcolo della matrice inversa.

2.          Giovedì 10/3/2016, 9-12.         ore: 3(6)

Formulazione ``outer product'' del prodotto matriciale. Decomposizione di una matrice in somma di matrici di rango 1. Autovalori e autovettori. Diagonalizzabilità. Matrici simmetriche. Fattorizzazione spettrale. Principal component analysis. Cenni sul metodo delle potenze per calcolare l'autovettore principale di una matrice. Rappresentazione di un grafo mediante una matrice di adiacenza. Cenni sugli indici di centralità per una rete e sul PageRank di Google. Esperimenti su Matlab.

3.          Martedì 15/3/2016, 9-12.         ore: 3(9)

Fattorizzazione $PA=LU$ e sue applicazioni. Complessità e stabilità della fattorizzazione. Numero di condizionamento. Fattorizzazione di Cholesky per una matrice simmetrica definita positiva. Fattorizzazione QR, confronto con la LU. Algoritmo di Householder. Applicazione a matrici rettangolari. Esempi numerici.

4.          Giovedì 17/3/2016, 9-12.         ore: 3(12)

Cenni sulla fattorizzazione QR di Givens. Sistemi lineari sovradeterminati e sottodeterminati, consistenti e inconsistenti. Risoluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati. Calcolo della soluzione mediante le equazioni normali e mediante la fattorizzazione QR. Matrice pseudoinversa. Esempi numerici.

5.          Martedì 22/3/2016, 9-12.         ore: 3(15)

Introduzione ai metodi iterativi. Metodi di Richardson stazionari e non stazionari. Precondizionamento. Spazi di Krylov. Fattorizzazione parziale di Lanczos per una matrice simmetrica. Il metodo di Lanczos per i sistemi lineari. Approssimazione di autovalori e riduzione della dimensione. Fattorizzazione parziale di Arnoldi. Il metodo GMRES. Fattorizzazione parziale di Golub-Kahan. Il metodo LSQR.

6.          Giovedì 24/3/2016, 9-12.         ore: 3(18)

Decomposizione ai valori singolari (SVD). Vettori singolari. Connessione col problema agli autovalori. Determinazione del rango e del numero di condizionamento. SVD compatta. Soluzione ai minimi quadrati e soluzione normale. Approssimazioni a rango basso. Cenni sulla principal component analysis.

7.          Giovedì 31/3/2016, 9-12.         ore: 3(21)

Ipotesi presenti nei problemi malcondizionati. Regolarizzazione mediante TSVD. Regolarizzazione alla Tikhonov. Cenni sui metodi iterativi. Scelta del parametro di regolarizzazione: discrepanza, GCV, curva L. Laboratorio Matlab. Uso del Regularization Toolbox di P.C.-Hansen.

Totale ore: 21