PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO 1
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA ED INGEGNERIA ELETTRONICA
A.A. 2006/2007 -
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
- Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari. Spazi normati.
Equivalenza delle norme. Principali norme vettoriali e funzionali.
Convergenza e successioni di Cauchy. Spazi di Hilbert. Ortogonalità.
Calcolo matriciale. Rango. Determinante e matrice inversa. Autovalori e
autovettori. Raggio spettrale. Molteplicità algebrica e geometrica di un
autovalore. Matrici dotate di struttura particolare: matrici Hermitiane,
unitarie, triangolari e a banda. Norme matriciali e loro proprietà.
Principali norme matriciali naturali. Relazioni tra raggio spettrale e norme
matriciali.
- Analisi degli errori e codifica degli algoritmi.
Problemi ben posti. Condizionamento di un problema. Algoritmi. Stabilità,
complessità computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo.
Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Origine degli errori.
Errore assoluto e relativo. Insieme dei numeri di macchina. Rappresentazione
in virgola mobile normalizzata. Memorizzazione di un numero reale: troncamento
ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di macchina. Variabili
in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina. Analisi di
perturbazione per le operazioni aritmetiche. Cancellazione.
- Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari.
Condizionamento di un sistema lineare. Risoluzione di sistemi lineari
diagonali, ortogonali e triangolari. Algoritmo di triangolarizzazione di
Gauss. Pivoting parziale e totale. Fattorizzazione . Matrici di
permutazione e fattorizzazione . Calcolo del determinante e
dell'inversa di una matrice. Crescita del numero di condizionamento e
propagazione degli errori di arrotondamento nell'algoritmo di Gauss.
- Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.
Metodi iterativi lineari stazionari del prim'ordine. Convergenza e
consistenza. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. I metodi
di Jacobi e di Gauss-Seidel. Classi di matrici per cui i due metodi
convergono. Criteri di arresto.
- Equazioni differenziali ordinarie.
Formulazione del problema di Cauchy. Lipschitzianità.
Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Metodi alle
differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep.
Costruzione di alcune formule alle differenze finite. Metodi di Runge-Kutta
espliciti. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Convergenza e
stabilità. Consistenza ed ordine. Verifica dell'ordine di convergenza per i
metodi di Eulero-Cauchy, Eulero modificato e Heun mediante sviluppo in serie di
Taylor dell'errore locale. Cenni sulla propagazione degli errori di
arrotondamento.
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- 1
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A. Quarteroni and F. Saleri.
Introduzione al Calcolo Scientifico.
Springer, Milano, 2002.
- 2
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R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, and O. Menchi.
Introduzione alla Matematica Computazionale.
Zanichelli, Bologna, 1987.
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it