PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA
IN INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO
E IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI
A.A. 2007/2008
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
- Richiami di Algebra Lineare.
Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme
vettoriali. Successioni convergenti e successioni di Cauchy. Spazi di
Hilbert: prodotti scalari, norme indotte e ortogonalità. Calcolo matriciale.
Determinante e matrice inversa. Autovalori e autovettori. Molteplicità
algebrica e geometrica. Quoziente di Rayleigh. Matrici dotate di struttura
particolare. Norme matriciali e loro proprietà. Principali norme matriciali
naturali. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali. Problemi ben
posti. Condizionamento di un problema.
- Analisi degli errori e codifica degli algoritmi.
Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Stabilità, complessità
computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo. Origine degli
errori. Errore assoluto e relativo. Rappresentazione in virgola mobile
normalizzata. Insieme dei numeri di macchina. Memorizzazione di un numero
reale: troncamento ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di
macchina. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina.
Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche e loro condizionamento.
Cancellazione.
- Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari.
Condizionamento di un sistema lineare. Sistemi diagonali ed ortogonali.
Risoluzione di sistemi lineari triangolari. Algoritmo di triangolarizzazione
di Gauss. Fattorizzazione . Pivoting parziale e totale. Matrici di
permutazione e fattorizzazione . Calcolo del determinante e
dell'inversa di una matrice. Propagazione degli errori di arrotondamento e
crescita del numero di condizionamento nell'algoritmo di Gauss. Scaling.
Fattorizzazione di Cholesky. Risoluzione di un sistema lineare mediante la
fattorizzazione . Matrici elementari di Householder. Fattorizzazione
di Householder. Fattorizzazione di una matrice rettangolare.
Sistemi lineari sovradeterminati e sottodeterminati. Risoluzione nel senso
dei minimi quadrati di sistemi lineari sovradeterminati. Sistema normale e
matrice pseudo inversa. Tecniche risolutive basate sulla fattorizzazione di
Cholesky e sulla fattorizzazione .
- Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.
Metodi iterativi lineari stazionari del prim'ordine. Convergenza e
consistenza. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. I
metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizione sufficiente per la convergenza
dei due metodi. Criteri di stop. Precondizionamento. Fattorizzazione LU
incompleta. Metodi di Richardson. Il metodo del gradiente. Il metodo del
gradiente coniugato.
- Autovalori e autovettori.
Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Fattorizzazione spettrale. Forma
canonica di Schur. Localizzazione degli autovalori. Condizionamento del
problema degli autovalori. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse con
normalizzazione. L'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori. Matrici di
Hessenberg.
- Radici di equazioni non lineari.
Ordine di convergenza di un metodo iterativo. Caratterizzazione delle radici
multiple. Condizionamento di una radice semplice e di una doppia. Calcolo
degli zeri di un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo
di bisezione. Il metodo di Newton. Rapporto tra ordine di convergenza e
molteplicità delle radici. Metodi quasi-Newton: corde e secanti.
Iterazioni di punto fisso. Contrattività. Condizioni per la convergenza.
Condizione affinché un metodo sia del second'ordine.
- Approssimazione di funzioni.
Formulazione generale del problema dell'interpolazione. Unisolvenza.
Enunciati dei teoremi di Taylor e di Weierstrass. Interpolazione polinomiale.
Esistenza ed unicità. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange.
Errore di interpolazione. Influenza del posizionamento dei nodi. Nodi di
Chebychev. Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati: il caso
discreto. Risoluzione del corrispondente sistema lineare sovradeterminato.
- Equazioni differenziali ordinarie.
Formulazione del problema di Cauchy. Lipschitzianità globale e locale.
Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Metodi alle
differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep.
Costruzione di alcune formule alle differenze finite. Errore globale ed errore
locale di discretizzazione. Convergenza e stabilità. Consistenza ed ordine.
Metodi di Runge-Kutta espliciti. Verifica dell'ordine di convergenza per i
metodi di Eulero-Cauchy, Eulero modificato e Heun mediante sviluppo in serie di
Taylor dell'errore locale di discretizzazione. Relazione tra numero degli
stadi e massimo ordine raggiungibile. Condizione sul passo di integrazione che
assicura la contrattività della funzione di iterazione associata ad un metodo
implicito. Cenni sulla risoluzione numerica dei sistemi di equazioni
differenziali ordinarie e delle equazioni di ordine superiore a 1.
- Laboratorio.
Introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Numeri complessi. Generazione
di vettori e matrici. Operatori e funzioni vettoriali e matriciali. Operatori
e funzioni che agiscono componente per componente. L'operatore di divisione
matriciale. Programmazione mediante scripts e functions. Cicli. Matrici
sparse. Istruzioni grafiche elementari per grafici 2D e 3D. Uso di alcune
funzioni di libreria. Esempi e simulazioni numeriche relative agli argomenti
trattati durante il corso.
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- 1
-
G. Rodriguez.
Algoritmi Numerici.
Pitagora Editrice, Bologna, 2008.
- 2
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A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 2000.
Seconda edizione.
- 3
-
V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it